CONJUNTO DE NUMEROS REALES

CONJUNTO DE NUMEROS REALES (Unidad #1)

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos —como números o polígonos por ejemplo—, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Ejemplos.

• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

• El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.

• Un conjunto es una agrupación, de clases o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos aε S representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o o (esto es, a no pertenece a S).

Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa. Por ejemplo, S1 = {2; 4}; S2 = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = 2N {todos los enteros pares}; S3 = {x | x2 - 6x + 11 ≥ 3}; S4 = {todos los varones vivos llamados Juan}. S3 se describe como el conjunto de todas las x tales que x2 - 6x + 11 ≥ 3.

HISTORIA: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS

George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.

El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".

Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposición matemática podía basarse en una teoría inconsistente.

La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una redefinición radical de todas las matemáticas y prometió una solución al conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo más simple de la intuición: el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuición general. Esta filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas, pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas. Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cuál decía que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la tienen, lo cuál sería la negación de la propiedad A. A esta corriente de pensamiento se le llamó intuicionismo. Luitz Brouwer

Por otro lado, David Hilbert se opuso al intuicionismo y aunque no toleraba las paradojas, no estaba dispuesto a ver las matemáticas mutiladas. En 1904 propuso la teoría de la prueba, la cuál era una teoría de la lógica independiente del contexto y podría ser aplicada a las matemáticas sin encontrar paradojas. Russell a su vez desarrolló su teoría de los tipos para evitar las paradojas. El proponía que los enunciados se acomodaran jerárquicamente. Russell publicó sus resultados en 1908 con la colaboración de Alfred North Whitehead.

La cuarta respuesta a la paradoja fue de Ernst Zermelo en 1908 con la axiomatización de la teoría de conjuntos.

La mejor prueba de que la teoría de conjuntos no ha logrado unificar a las matemáticas es que éstas se han ramificado en áreas muy diferenciadas, como la aritmética, el álgebra, la trigonometría y geometría; también se han separados distintos campos como el cálculo, la topología, la teoría de conjuntos, la teoría de los números y la estadística.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

Decimos que dos conjuntos y son iguales si poseen exactamente los mismos elementos, y en este caso escribimos .

Por ejemplo es igual a , e igual a aunque aparezcan expresados en diferentes formas.

Igualmente la repetición formal de elementos iguales no quiere decir que sean conjuntos distintos (a menos que expresamente indiquemos lo contrario). Si consideramos el conjunto formado por las letras que componen la palabra ``operador", este sería , que es el mismo conjunto que . Observemos por tanto que con la definición dada de igualdad de conjuntos, no importa ni el orden de aparición de los elementos ni la repetición de estos.

Es claro a partir de las definiciones que la igualdad es equivalente a la doble inclusión, y ,ya que si todo elemento de lo es de , y todo elemento de lo es de , necesariamente poseen los mismos elementos.

Esta equivalencia es usada con frecuencia como técnica de demostración para probar que dos conjuntos son iguales.

Conjunto complementario: Fijado un conjunto de referencia y un conjunto se define su complementario respecto de como el conjunto formado por todos aquellos elementos de que no son elementos de . Denotamos por a este conjunto si no hay duda sobre quién es . Si se quiere explicitar el conjunto de referencia se puede expresar como

A partir de unos conjuntos se pueden obtener otros mediante operaciones de intersección, unión, diferencia simétrica y producto.

Intersección: Fijado un conjunto de referencia y conjuntos y se define el conjunto intersección de ambos, como el formado por todos aquellos elementos que son a la vez elementos de y de . Se nota .

Si los conjuntos y se dicen disjuntos. Si además decimos que el par forma una partición de .

Unión: Fijado un conjunto de referencia y conjuntos y definimos el conjunto unión de ambos, y lo representamos por , al siguiente conjunto:

Dados dos conjuntos y definimos el conjunto diferencia de y y lo representamos por como el siguiente conjunto:

(A veces se utiliza la notación )

Diferencia simétrica: Dados dos conjuntos y definimos el conjunto diferencia simétrica de y , y lo representamos por como el siguiente conjunto:

o equivalentemente

Todas estas operaciones se pueden generalizar para más de dos conjuntos, para cualquier conjunto finito y para conjuntos infinitos.

Unión genérica: Dada una familia de conjuntos con índice en un cierto conjunto , , definimos la unión genérica de los conjuntos de esa familia, y lo representamos por como el siguiente conjunto:

Intersección genérica: Dada una familia de conjuntos con índice en un cierto conjunto , , definimos la intersección genérica de los conjuntos de esa familia, y lo representamos por como el siguiente conjunto:

Observacion: Las definiciones anteriores generalizan las dadas para dos conjuntos. Si tomamos tenemos:

Propiedades respecto de las operaciones: Dados conjuntos , , y un conjunto de referencia es inmediato comprobar

Respecto de la unión Respecto de la intersección

• Dominancia

• Asociativa

• Conmutativa

• Idempotente

Respecto de ambas

• Simplificativa

• Distributiva

Respecto del paso a complementario

•

•

•

Conjunto de las partes de un conjunto: Dado un conjunto definimos el conjunto de las partes de o conjunto potencia de , y lo representamos por , como el conjunto formado por todos los subconjuntos de , esto es:

•

Proposicion: Si el cardinal de es . Entonces el cardinal de es .

Producto catersiano: Dados conjuntos y podemos formar pares ordenados eligiendo cada vez elementos y . Definimos el producto cartesiano de y , y lo representamos por como el conjunto formado por todos los pares ordenados anteriores.

Conjuntos numerios N, Z, Q

1) N = Conjunto

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