Gráficas CUSUM.

GRAFICAS CUSUM

Una de las desventajas que tienen las gráficas de control tradicionales (tipo Shewart) es que no son rápidas para detectar “cambios pequeños” en el proceso donde un cambo de nivel se considera pequeño si es menor a 1.5 la desviación estándar. Por ejemplo la gráfica de control tradicional, qué es interpretada sólo con la regla de puntos fuera de control, tarda 43.9 puntos en promedio para detectar un cambio en la magnitud  , y 71.5 en uno de . Las gráficas CUSUM, detectan esos cambios al menos 4 veces más rápidos.[pic 3][pic 4]

La forma tradicional para medir la velocidad con la que una carta de control detecta un cambio es a través del ARL (longitud promedio de corrida) qué es el número de puntos que en promedio se deben graficar en una carta de control para que esta detecte un cambio es igual a ARL = 1/p, donde P es igual a la probabilidad de que los puntos caigan fuera de los límites de control, que en caso de las cartas de medias y bajo el supuesto de normalidad p=0.0027, y entonteces ARL = 370.4. De esta forma, bajo control estadístico se espera que cada 370.4 puntos graficados para que un punto caiga fuera de los límites de control.

Una manera de mejorar el desempeño de una gráfica Shewart en la detección de brincos pequeños es mediante la aplicación de reglas adicionales de cambio de nivel, sin embargo esto puede ocasionar el incremento en la proporción de falsas alarmas. Por lo tanto el uso de gráficas CUSUM son una buena alternativa para detectar estos pequeños brincos .

La gráfica CUSUM fue propuesta por Pege (1954); es un gráfica en la cual se grafica la suma acumulada de las desviaciones con respecto a la media global. Sean  , las medidas observadas, en n subgrupos y sea   la media global, en los primeros m puntos de inspección, sobre la carta CUSUM se grafican las sumas acumuladas, dada por.[pic 5][pic 6]

[pic 7]

Mientras el proceso se mantenga bajo control estadístico centrado sobre  , los valores de estas sumas acumuladas oscilarán alrededor de cero. Notes que la suma Sm pondera de la misma manera todas las medias observadas hasta ese momento, incluyendo la del subgrupo m. Esto hace que si el proceso se va modificando poco a poco o cambia a una nueva media, las medias sean bastante sensibles para detectar el cambio rápidamente en particular si éste tiene una magnitud de alrededor de 1σ. En general la gráfica CUSUM es capaz de detectar cambios de nivel en magnitudes entre 0.2σ y 2σ.[pic 8]

Existe dos maneras de construir esta carta: La CUSUM de dos lados que se interpreta con un dispositivo llamado máscara y la CUSUM tabular o de sólo lado, en la cual se consideran de manera separada las sumas acumuladas por arriba y por debajo de la media. En la práctica común la CUSUM tabular es la más utilizada por lo engorroso del diseño de la máscara.        

LA CUSUM TABULAR.

Es posible construir CUSUM tanto para observaciones individuales como para promedios de subgrupos racionales. El caso de las observaciones individuales ocurre con más frecuencia en la práctica, por lo que se tratará esta situación; después se verá cómo modificar estos resultados para subgrupos racionales.

Sea Xi la i-ésima observación del proceso. Cuando el proceso está bajo control, X1 tiene una distribución normal con media   y desviación estándar σ. Se supone que σ es conocida o que se cuenta con una estimación de la misma. [pic 9]

En ocasiones  se considera como el valor objetivo para la característica de calidad  x. es posible adoptar este punto de vista en la industria química y de procesamiento cuando el objetivo es controlar x, para un valor objetivo en particular. Si el proceso de desalinea o se corre de este objetivo, la CUSUM producirá una señal y se hace un ajuste en alguna variable manipulable para poner al proceso de nuevo en el objetivo.[pic 10]

La CUSUM tabular funcionas acumulando las desviaciones de  que están arriba del objetivo con un estadístico C+ y acumulado las desviaciones de  que están abajo del objetivo con otro estadístico C- . A estos estadísticos se les llama cusum unilaterales superior e inferior, respectivamente y se calculan como sigue:[pic 11][pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Donde los valores    y    son iguales a 0.[pic 15][pic 16]

En las ecuaciones anteriores K suele llamársele el valor de referencia(o tolerancia, o valor laxo), y con frecuencia se escoge aproximadamente a la mitad entre el valor objetivo y el valor fuera de control de la media µ1 que el analista está interesado en en detectar con rapidez.

Por lo tanto, si el cambio se expresa en unidades de desviación estándar como   o bien.[pic 17]

 , entonces K es la mitad de la magnitud del corrimiento.[pic 18]

 , entonces.[pic 19]

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Obsérvese que    y   acumulan las desviaciones del valor objetivo   que son mayores que K, reinicializando ambas cantidades en cero cuando se hace negativas si   y   excede el intervalo de decisión H, se considera que el proceso está fuera de control.[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Se ha mencionado brevemente cómo elegir K, pero ¿cómo se escoge H? De hecho, la selección correcta de estos dos parámetros es muy importante, ya que tienen un impacto sustancial sobre el desempeño de la CUSUM. Se abundará al respecto más adelante, pero un valor razonable de H es cinco veces la desviación estándar del proceso.  

 Ejemplo:

Se tiene 30 datos de viscosidad de un producto químico derivados de una gráfica de lectura individuales, el objetivo   = 10.0, la desviación estándar del proceso es de σ = 1 y se supone que la magnitud del corrimiento que quiere detectarse es 1.0σ. Se usará K = ½  y una H=5 (porque H es aproximadamente igual a 5σ).[pic 26]

Se ejemplifica el cálculo de    y   para el periodo 1. Recuerde que los valores   y   son iguales a 0 y K=0.5[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

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Para el segundo periodo:

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