LIBRO MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS

w w w . e d u c a c i o n p o p u l a r . c l

Apuntes de preparaci´on para la

Prueba de Selecci´on Universitaria

M A T E M ´A T I C A

2008

Preuniversitario Popular

V´ıctor Jara

Pamela Paredes N´u˜nez

Manuel Ram´ırez Panatt

Estudiantes de Licenciatura en Ciencias Exactas

Facultad de Ciencias, Universidad de Chile

Simbolog´ıa Matem´atica

< es menor que = es igual a

> es mayor que 6= es distinto de

 es menor o igual que  es equivalente a

 es mayor o igual que  es semejante a

? es perpendicular a = es congruente con

// es paralelo a 2 pertenece a

] ´angulo 62 no pertenece a

 contenido en AB trazo AB

8 para todo 9 existe

) implica [ uni´on entre conjuntos

, si y solo si (doble implicancia) \ intersecci´on entre conjuntos

Y para nuestro libro. . .

 Ejemplos | Actividades

} Observaciones

“Un pa´ıs mejor se crea con igualdad social, sin una nivelaci´on cultural no hay igualdad social,

sin educaci´on popular no hay nivelaci´on cultural. . . ¡Creemos educaci´on popular!”

Este libro ha sido facilitado a

todos los alumnos del Preuniversitario

Popular V´ıctor J ara, cu´ıdalo y

aprov´echalo al m´aximo.

Cuando ya no lo necesites, reg´alalo

a alguien que le sea m´as ´util que a ti.

Este libro no debe venderse ni guardarse,

pues el valor de un libro no se

mide por la calidad de su edici´on, mas

bien, por la cantidad de ojos que lo han

leido.

´Indice general

Presentaci´on VII

1. N´umeros 1

1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Representaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Conjuntos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. N´umeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2. N´umeros Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3. N´umeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.4. N´umeros Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.5. N´umeros Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.6. N´umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Operatoria con los n´umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2. M´ınimo Com´un M´ultiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3. M´aximo Com´un Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.4. Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.5. Orden Operatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.6. Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.7. Potenciaci´on y Radicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.8. Notaci´on Cient´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Mini Ensayo I, N´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Proporcionalidad 21

2.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1. Raz´on Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2. Raz´on Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1. Proporci´on Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2. Proporci´on Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3. Proporcionalidad Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.4. Proporcionalidad Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.5. Proporcionalidad Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1. Porcentaje de una Cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2. Porcentaje de un Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

i

´INDICE GENERAL Preuniveritario Popular V´ıctor J ara

2.4. Mini Ensayo II, Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Introducci´on al ´Algebra 35

3.1. Signos del ´Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Lenguaje Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Expresiones Algebr´aicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1. T´ermino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2. Clasificaci´on de las Expresiones Algebr´aicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.3. T´erminos Semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.4. Eliminaci´on de Par´entesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4. Productos Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.1. Multiplicaci´on de Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.2. Multiplicaci´on de Polinomio por Monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.3. Multiplicaci´on de Polinomio por Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5. Mini Ensayo III, Expresiones del ´Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Desarrollo Algebraico 45

4.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1. Cuadrado de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.2. Suma por su Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.3. Cubo de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.4. Multiplicaci´on de binomios con un t´ermino en com´un . . . . . . . . . . . 46

4.1.5. Binomio a una Potencia Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2. Factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.1. Factor Com´un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2. Factorizaci´on de Trinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.3. Factorizaci´on de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.4. Diferencia de Cuadrados Perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.5. Completaci´on de Cuadrados de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3. Mini Ensayo IV, Factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5. Ecuaciones Algebraicas 55

5.1. Conceptos B´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2. Ecuaci´on de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.1. Resoluci´on de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2.2. Redacci´on de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3. Ecuaci´on de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3.1. Ecuaci´on incompleta total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3.2. Ecuaci´on incompleta binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3.3. Ecuaci´on general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3.4. Propiedades de las raices de la ecuaci´on de segundo grado . . . . . . . . . 60

5.4. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4.1. Resoluci´on de Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4.2. Sistemas de Ecuaciones de 3 inc´ognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4.3. Casos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.5. Mini Ensayo V, Ecuaciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

ii J Prueba de Selecci´on Universitaria

Universidad de Chile ´INDICE GENERAL

6. Ecuaciones no Algebraicas 75

6.1. Ecuaci´on Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.1.1. Resoluci´on de Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2. Ecuaci´on Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.1. Significado de un Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.2.

...