Monte Carlo

MÉTODO DE MONTE CARLO

Bajo el nombre de “Método de Monte Carlo” o “Simulación Monte Carlo” se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios.

El Método de Monte Carlo da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinístico.

Generalmente en estadística los modelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún componente aleatorio. Pero en el método de Monte Carlo, por otro lado, el objeto de la investigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudo-aleatorio se usa para estudiar el modelo.

A veces la aplicación del método de Monte Carlo se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro determinista del problema se expresa como una distribución aleatoria y se simula dicha distribución. Un ejemplo sería el famoso problema de las Agujas de Bufon.

La simulación de Monte Carlo fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver por métodos analíticos, para resolver estas integrales se usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para cualquier esquema que emplee números aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver ciertos problemas estocásticos y determinísticos, donde el tiempo no juega un papel importante.

El método fue llamado así por el principado de Mónaco por ser ''la capital del juego de azar'', al tomar una ruleta como un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo data aproximadamente de 1944 con el desarrollo de la computadora electrónica. Sin embargo hay varias instancias (aisladas y no desarrolladas) en muchas ocasiones anteriores a 1944.

El uso real de los métodos de Monte Carlo como una herramienta de investigación, viene del trabajo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial. Este trabajo involucraba la simulación directa de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones aleatorios en material de fusión.

Aún en la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislao Ulam refinaron esta curiosa ''Ruleta rusa'' y los métodos''de división''. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar el trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Fermi, Metropolos y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear.

Breve descripción matemática

La idea básica del método de Monte Carlo consiste en escribir la integral requerida como el valor esperado de alguna función con respecto a alguna distribución de probabilidad, lo cual sugiere una solución ''estadística'' al problema de integración. Para motivar la discusión consideremos el siguiente ejemplo.

Sea . supongamos que existe , tal que para todo y que se desee calcular la integral

El valor de esta integral no es más que el área bajo la curva para . Dicha gráfica queda inscrita en el rectángulo

Sea

Entonces corresponde a la función de densidad (respecto a la medida de LEbesgue) de una distribución uniforme sobre el rectángulo . La integral puede entonces estimarse simulando una muestra de y contando cuántos de estos valores caen bajo la curva .

Especificamente sea

donde

es un estimador insesgado de . En efecto, cada observación corresponde a un ensayo Bernoulli con probalbilidad de éxito , por lo que .

Más aún la varianza de este estimador es

Algunos matemáticos que han contribuido a la historia del método Monte Carlo

1.777 A la edad de 20 Georges Buffon descubrió el teorema binomial, colaboró con Cramer (*) en mecánica, geometría, probabilidad , teoría del número y el cálculo diferencial e integral.

Su

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