ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE UNA BARRA SOMETIDA A CARGA AXIAL, CON EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.

ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE UNA BARRA SOMETIDA A CARGA AXIAL, CON EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.

Xavier Astudillo, Rubén Jerves

Universidad de Cuenca, Facultad de Ingeniería, Asignatura de Elementos Finitos

Cuenca, Ecuador (Mayo-2016)

Introducción

El método de los elementos infinitos (MEF) es una herramienta numérica con amplio campo de aplicaciones, entre unas de ellas podemos destacar la trasferencia de flujo de calor en todas las dimensiones del espacio, o en el cálculo estructural. En este artículo se estudiara más a detalle el comportamiento de una barra bajo la acción de una fuerza axial, cabiendo resaltar que este es un ejercicio prototipo y muy aplicado en el cálculo de estructuras. El MEF se encarga de resolver el problema descomponiéndolo en sub-intervalos y así estudiando el comportamiento de la barra más a detalle, dependiendo de la cantidad de elementos tomados en consideración sobre la barra. Un elemento es un sub-intervalo arbitrario tomado sobre la longitud de una barra. A más de que este método nos proporciona a detalle el comportamiento de la barra, los parámetros ligados a este comportamiento que dependen del tipo de material,  el área de sección transversal y el módulo de elasticidad, pueden ser más generalizados y tomados como variables en función de la posición en la dirección de la fuerza axial. En general, las ecuaciones formadas por los métodos convencionales de la física de los materiales son muy complejas y difíciles de resolver; sin embargo el MEF nos arroja aproximaciones muy certeras, y de una manera prácticamente sencilla y eficaz.  

El problema a tratar en este artículo nos propone una barra que se encuentra sujeta y rígida en un extremo (condición de frontera tipo Dirichlet), y se encuentra bajo la acción de una fuerza F en el otro extremo (condición de frontera tipo Neumann), esta fuerza se la puede considerar como una fuerza distribuida b(x) a lo largo del eje de la barra, y a más de eso el área transversal de la barra depende de la posición de la barra A(x), al igual que su módulo elástico E(x).[pic 2][pic 3]

El trabajo realizado consta en una breve explicación del (MEF), seguido de la resolución de un problema generalizado utilizando este método, mediante el uso de un programa implementado en MATLAB, una herramienta de software matemática con su propio lenguaje de programación (lenguaje M), para así resolver un problema ya concretizado y comparar sus resultados con la metodología convencional de resolución (método analítico); sin embargo, para simplificar la resolución se escogerá un problema más sencillo, donde posteriormente se hará un análisis comparativo a detalle y se probara la eficiencia del (MEF).

Conceptos del método de los elementos finitos e implementación en MATLAB

MEF, Método analítico y problema

MEF

En la Fig. 1 se representa el problema. El MEF procede de la siguiente manera:

Definición de un elemento finito:

Un elemento finito está definido por la siguiente triada de objetos:

1. Un subdominio del dominio de estudio (L)
2. Unas funciones base definida en este subdominio, llamadas funciones de forma.
3. Los grados de libertad asociados al elemento.

Elemento finito de dos nodos

1. El intervalo (x(0) , x(1))
2. Dos funciones [pic 4]
3. Los grados de libertad u(0), u(1)

Matriz de rigidez elemental:

[pic 5]

Fuerza aplicada en un elemento:

[pic 6]

Ensamblaje:

El ensamblaje es la el proceso de contribución de los elementos locales para obtener un sistema global para todo el dominio.

Para el ensamblaje se necesita armar una tabla de localización, en la cual relaciona la posición de un nodo en un elemento, con su posición respecto al problema en general. Para este caso se tiene la siguiente Tabla:

Con la ayuda de la tabla de localización se procede a ensamblar las matrices de rigidez locales en la matriz de rigidez global como sigue:

Las componentes de la matriz  se sumaran a la matriz  global en las posiciones (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) respectivamente; Para la matriz  las componentes se sumaran en (2,2), (2,3), (3,2), (3,3); es decir, para las componentes de  se sumaran en las posiciones resultantes de las combinaciones de i e i+1 respectivamente ((i,i), (i,i+1), (i+1,i), (i+1,i+1)).[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Se realiza un procedimiento semejante para el ensamblaje del vector Fuerza  donde la componente 1 está dada por , la componente 2 por  , y así sucesivamente, sobreponiéndose las fuerzas que actúan en un mismo nodo global, y finalizando con .[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

En cuanto a la resolución, es decir, hallar los desplazamientos de los nodos, se debe resolver Ku-F=0, con la observación de que al ser un sistema indeterminado se debe aplicar un artificio matemático. Se resuelve el sistema eliminando la primera fila y la primera columna de K, así como el primer componente de u y el primer componente de F.

Para hallar el valor de la reacción se obtiene el nuevo vector F2=Ku, usando los valores encontrados, y se le resta las fuerzas ensambladas F.                 R=Ku-F

Aplicando todo lo expuesto en el MATLAB se vería así: variable (barra, A, E, L, F, u0, N).

(La variable ‘barra’ es únicamente para graficar el modelo de la barra, no tiene significado dentro del método de los elementos finitos).

Tabla de localización:

Ensamblaje de la matriz K:

...