Orden de las operaciones

ORDEN DE OPERACIONES

por: Melissa Murrias y Dra. Luz M. Rivera 

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Ponce 
 
 

 Al realizar cómputos matemáticos, a veces tenemos  que llevar a cabo varias operaciones matemáticas diferentes. Hay que tener cuidado al efectuar las operaciones, ya que hay que seguir un orden en particular para que le dé a todos el mismo resultado. 

Por ejemplo: si queremos calcular el resultado de -2 + 6 x 3 - 2 , si no contamos con algunas reglas los resultados pudieran ser variados como por ejemplo: 10,  14,  4 . Para que esto no suceda entonces necesitamos aprender las Reglas para Orden de Operaciones.

El orden de operaciones consiste en las reglas que te dicen que es lo que vas a hacer primer al realizar el cómputo.

Reglas para Orden de Operaciones 

1. Resolver paréntesis, u otros símbolos. ( )  [ ]  { } 
2. Resolver exponentes o raíces. 
3. Multiplicación y división de izquierda a derecha. 
4. Suma y resta de izquierda a derecha. 

Ejemplo: 

 2 + 7 · 8 / 2 
 2 + 56 / 2          [Se multiplicó 7 · 8] 
 2 + 28               [Se dividió  56 / 2] 
    30                  [ Se sumó 28 + 2] 

Cuando hay un paréntesis ( ) , llave { }  y corchete [ ], hay que resolver lo que está dentro de estos símbolos, antes de efectuar alguna otra operación. 

Ejemplo: 

 5 · (9 – 6) + 8          
 5 · 3 + 8                < Se restó 9 – 6 = 3> 
 15 + 8                   < Se multiplicó 5 · 3> 
  23                          < Se sumó 15 + 8> 

Otro ejemplo: 
 2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2        
 2 [ -6] + 8 / 2             < Se multiplicó 6 · -1> 
 -12 + 8 / 2                 < Se multiplicó 2 · -6> 
 -12 + 4                      < Se dividió 8 / 2> 
   -8                            < Se sumó –12 + 4> 

Cuando hay una combinación de paréntesis, corchetes y llaves, hay que resolver éstos de adentro hacia fuera. 

Ejemplo 1: 

2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ] 
Como el paréntesis está adentro del corchete, hay que resolver éste para luego resolver el corchete. 

2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ] 
2 [ 6 – 3 + 8 ] 
2 [ 3 + 8 ] 
2 [ 11] = 22 

Ejemplo 2 

3 { 4 – [ 6 · 2 (9 – 5) + 1 ] } 
3 { 4 – [ 6 · 2 (4)  + 1 ] } 
3 { 4 – [ 12 (4) + 1 ] } 
3 { 4 – [ 48 + 1 ] } 
3 { 4 – [ 49 ] } 
3 { -45} 
 -135 

Ejemplo con exponente: 

1.          9 { 2 – [ 6 + (4)2 + 8 ] } 
             9 { 2 – [ 6 + 16 + 8 ] } 
             9 { 2 – [ 22 + 8 ] } 
             9 { 2 – 30 } 
             9 {-28} 
              -252 
 

2.          3 { 6 – [ 9 + 2 ( 1 + 3 )2 – 20 ] } 
             3 { 6 – [ 9 + 2 ( 4 )2 – 20 ] } 
             3 { 6 – [ 9 + 2 ( 16 ) – 20 ] } 
             3 { 6 – [ 9 + 32 – 20 ] } 
             3 { 6 – [ 41– 20 ] } 
             3 { 6 – 21} 
                3 {-15} 
                    -45 
 
 
 
 
 
 

Ejercicios: 
Resuelve según el orden de operaciones: 
 

1)     4 · 2(3 + 6) / 3                                    2)    3 + (2 + 3)2 – 6 / 2 
 
 
 
 

3)    4 [ 1 – ( 5 – 11)  / 3]                            4)    2 { 6 – 2 ( 9 – 4)  / 5 + 1} 
 
 
 
 
 

5)     3 { 42 – ( -3 + 1) / 2}                      6)    4 { 5 – [ 6 + ( 2 + -4)2 / 2 + 8] } 
 
 
 
 
 
 

Solución: 
1. 

                4 · 2 ( 3 + 6 ) / 3 
                4 · 2 ( 9 ) / 3 
                8 (9 ) / 3 
                72 / 3 = 24 

2. 
                3 + (2 + 3)2 – 6 / 2 
                3 + (5)2 – 6 / 2 
                3 + 25 – 6 / 2 
                3 + 25 – 3 
                    28 – 3 
                        25 
 

3. 
                4 [ 1 – ( 5 – 11)  / 3] 
                4 [ 1 – ( -6)  / 3 ] 
                4 [ 1 - -2 ] 
                4 [ 3]  = 12 

4. 

                2 { 6 – 2 ( 9 – 4)  / 5 + 1} 
                2 { 6 – 2 ( 5)  / 5 + 1} 
                2 { 6 – 10 / 5 + 1} 
                2 { 6 – 2 + 1} 
                2 { 4 + 1} 
                2 { 5 } = 10 
 

5. 

                3 { 42 – ( -3 + 1) / 2} 
                3 { 42 – ( -2) / 2} 
                3 { 16 – (-2) / 2} 
                3 { 16 –  -1} 
                3 {17} = 51 

6. 

            4 { 5 – [ 6 + ( 2 + -4)2 / 2 + 8] } 
            4 { 5 – [ 6 + ( -2)2 / 2 + 8] } 
            4 { 5 – [ 6 + 4 / 2 + 8] } 
            4 { 5 – [ 6 +  2 + 8] } 
            4 { 5 – [ 8 + 8]} 
            4 { 5 – 16} 
            4 { -11} =  -44 
 

Signos de agrupación

Los signos de agrupación más usados son los siguientes: el paréntesis () , corchete [] , y las llaves {} , en pocas palabras los signos de agrupación nos indican que las cantidades dentro de él deben considerarse como un todo.

Teniendo esto en mente podemos decir usando un ejemplo que si tenemos:

a+(b−c)  significa que a la cantidad a debemos sumar la cantidad (b−c) , esto implica que tendremos que asignar signo positivo o negativo a cada miembro dentro de los signos de agrupación antes de suprimirlos o quitarlos. Para saber que signo le corresponde a cada término debemos saber las siguientes dos reglas.

1.- Se deja el mismo signo a cada miembro dentro de los signos de agrupación si van precedidos por el signo + .

2.-Se cambia el signo a cada miembro dentro de los signos de agrupación si van precedidos por el signo − .

Ejemplos:



a+2b+(a−d−b) 

Para suprimir los paréntesis nos fijamos que llevan precedidos el signo + por lo tanto dejamos con su signo inicial a los miembros dentro de ellos.

a+2b+a−d−b=2a+b−d ■ 

Veamos ahora la misma expresión dentro de los paréntesis pero  precedidos por el signo − 

a+2b−(a−d−b) 

Según la regla número dos tenemos que cambiar de signo a cada miembro dentro de los signos de agrupación para suprimirlos.

a+2b−a+d+b=3b+d  ■ 

...