Valor Presente

Tasas de interés nominal y efectivo

En esencia, las tasas de interés nominales y efectivas tienen la misma relación que entre sí guardan el interés simple y el compuesto. La diferencia es que las tasas de interés efectivas se utilizan cuando el periodo de capitalización es menor de un año. Por tanto, cuando una tasa de interés se expresa en periodos de tiempo menores a un año, deben considerarse los términos de las tasas de interés nominales y efectivas.

Las tasas de interés nominales deben convertirse en tasas efectivas con el fin de reflejar, en forma precisa, consideraciones del valor del tiempo.

La tasa de interés nominal, r, es la tasa de interés del periodo por el número de periodos.

Cuando se considera el valor del dinero en el tiempo al calcular las tasas de interés a partir de las tasas de interés del periodo, la tasa se denomina tasa de interés efectiva.

Para que el análisis de las tasas de interés nominales y efectivas sea completo, es preciso definir las tres formas generales para expresar las tasas de interés.

• 1. Se identifica el periodo de capitalización.

• 2. El periodo de capitalización es más corto que el tiempo en el cual está expresado el interés.

• 3. No se designa la tasa de interés como nominal o efectiva.

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Formulación de la tasa de interés efectiva

Para ilustrar la diferencia entre tasas de interés nominales y efectivas, se determina el valor futuro de $100 dentro de 1 año utilizando ambas tasas. Si un banco paga el 12% de interés compuesto anualmente, el valor futuro de $100 utilizando una tasa de interés del 12% anual es:

F=P(1+i)n=100(12)1=$112.00

Por otra parte, si el banco paga un interés que es compuesto semestralmente, el valor futuro debe incluir el interés sobre el interés ganado durante el primer periodo. Una tasa de interés del 12% anual compuesta semestralmente significa que el banco pagara 6% de interés después de 6 meses y otro 6% después de 12 meses (6% cada mes). En la siguiente figura se muestra el diagrama de flujo de efectivo para capitalización semestral para una tasa de interés nominal del 12% anual compuesto semestralmente. Obviamente, el cálculo en la ecuación anterior ignora el interés obtenido el primer periodo. Considerando el periodo 1 de interés compuesto, los valores futuros de %100 después de 6 meses y después de 12 meses son:

i nominal = 12% anual

i efectivo = 6% por periodo semestral

Diagrama de flujo de efectivo para periodos de capitalización semestral.

F6= 100(1+0.06)1=$106.00

F12=106(1+0.06)1=$112.36

Donde el 6% es la tasa de interés efectiva semestral. En este caso, el interés ganado en 1 año es 12,36 en lugar de 12,00. Por consiguiente, la tasa de interés efectiva anual es 12,36%. La ecuación para determinar la tasa de interés efectiva anual nominal puede generalizarse de la siguiente manera:

i=(1+r/m)m-1

A medida que el número de periodos de capitalización aumenta, m se acerca a infinito, en cuyo caso la ecuación representa la tasa de interés para capitalización continua.

Calculo de tasas de interés efectivas:

Las tasas de interés efectivas pueden calcularse para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo de capitalización real, a través del uso de la última ecuación, es decir, una tasa de interés efectiva del 1% mensual, por ejemplo, puede convertirse en tasas efectivas trimestrales, semestrales, etc. Por cualquier periodo más largo que 1 mes. Es importante recordar que en la ecuación anterior las unidades de tiempo en i y r siempre deben ser las mismas. Por tanto, si se desea una tasa de interés efectiva, i, por periodo semestral, entonces r debe ser la tasa nominal por periodo semestral. M será igual al número de veces que el interés estará compuesto durante el periodo de tiempo sobre el cual se busca i. El siguiente ejemplo ilustra estas relaciones.

La siguiente tabla presenta la tasa de interés efectiva i para diversas tasas de interés nominal que utiliza la ecuación anterior y periodos de capitalización de 6 meses, 3 meses, 1 mes, 1 semana y un día. La columna de capitalización continua se analiza en la siguiente sección. Observe que a medida que la tasa de interés aumenta, el efecto de una capitalización más frecuente se hace más pronunciado. Cuando se utiliza esa ecuación para encontrar una tasa de interés efectiva, la respuesta es una tasa de interés que no es un numero entero. Cuando esto sucede, los valores de factor deseado deben obtenerse, bien sea a través de interpolación en las tablas de interés o mediante el uso directo de las ecuaciones.

Tasas de interés efectivas para capitalización continúa.

A medida que el periodo de capitalización disminuye, el valor de m, numero de periodos de capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca a infinito de una nueva forma. Primero recuerde la definición de la base del logaritmo natural.

Esta ecuación se utiliza para calcular la tasa de interés efectiva continua. Al igual que en la ecuación anterior, los periodos de tiempo en i y en r deben ser los mismos.

Calculo para periodos de pago iguales o mayores que los periodos de capitalización.

Cuando el periodo de capitalización de una inversión o préstamo no coincide con el periodo de pago, se hace necesario manipular la tasa de interés y/o el pago con el fin de determinar la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Recuerde que si el pago y los periodos de capitalización no coinciden no es posible utilizar las tablas de interés hasta hacer las correcciones apropiadas. Dos condiciones pueden ocurrir:

• 1. Los flujos de efectivos requieren el uso de factores de pago único.

• 2. Los flujos de efectivos requieren el uso de series uniformes o factores de gradientes.

Factores de pago único:

En esencia, en número infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuando solamente hay factores únicos involucrados. Esto se debe a que solo hay dos requisitos que deben ser satisfechos: 1 Debe utilizarse una tasa efectiva para i, 2 las unidades en n deben ser las mismas que aquellas en i.

Factores de serie uniforme y gradientes.

Cuando el flujo de efectivo del problema indica el uso de uno o mas de los factores de serie uniforme o de gradiente, debe determinarse la relación entre el periodo de capitalización, PC, y el periodo de pago, PP. La relación estará dada por uno de los tres casos siguientes:

• 1. El periodo de pago es igual al periodo de capitalización, PP=PC.

• 2. El periodo de pago es mayor que el periodo de capitalización.

• 3. El periodo de pago es menor que el periodo de capitalización.

Para el primer y segundo caso tenemos:

• 1. Cuente el número de pagos y utilice ese número como n.

• 2. Encuentre la tasa de interés efectiva durante el mismo periodo de tiempo que n es el paso 1.

• 3. Utilice estos valores de n e i en las ecuación o formulas de notación estándar de factores.

Cálculos para periodos de pago menores que los periodos de capitalización.

Cuando el periodo de pago es menor al periodo de capitalización, el procedimiento para calcular el valor futuro o el valor presente depende de las condiciones especificadas en relación con la capitalización entre los periodos. La capitalización interperiodica, como se utiliza aquí, se refiere al manejo de los pagos efectuados entre los periodos de capitalización. Tres casos son posibles:

• 1. No hay interés pagado sobre el dinero depositado entre los periodos de capitalización.

• 2. El dinero depositado entre los periodos de capitalización gana un interés simple.

• 3. Todas las transacciones entre los periodos ganan un interés compuesto.

Solamente se considera aquí el caso número 1, ya que la mayoría de las transacciones del mundo real se encuentran dentro de esta categoría. Si no se paga interés sobre las transacciones entre los periodos, entonces se considera que cualquier cantidad de de dinero depositado o retirado entre los periodos de capitalización ha sido depositada al final del periodo de capitalización o retirada al principio de dicho periodo.

Evaluación del valor presente y del costo capitalizado

Una cantidad futura de dinero convertida a su equivalente en valor presente tiene un monto de valor presente siempre menor que el del flujo de efectivo real, debido a que para cualquier tasa de interés mayor que cero, todos los factores P/F tienen un valor menor que 1.

Por esta razón, con frecuencia se hace referencia a cálculos de valor presente, bajo la denominación de métodos de flujo de efectivo descontado (FED). En forma similar, la tasa de interés utilizada en la elaboración de los cálculos se conoce como la tusa de descuento. Otros términos utilizados a menudo para hacer referencia a los cálculos de valor presente son valor presente (VP) y valor presente neto (VPN). Independientemente de cómo se denominen, los cálculos de valor presente se utilizan de manera rutinaria para tomar decisiones de tipo económico relacionadas. Hasta este punto, los cálculos de valor presente se han hecho a partir de los flujos de efectivo asociados sólo con un proyecto o alternativa únicos. En este capítulo, se consideran las técnicas para comparar alternativas mediante el método de valor presente. Aunque las ilustraciones puedan estar basadas en la comparación

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