APUNTES DE MATEMÁTICA FINANCIERA

APUNTES DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Matemática (Del latín mathemática, conocimiento

Definición: ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones.

División de la matemática.

• Matemática pura.
• Matemática aplicada.

Matemática pura

Estudio de la cantidad considerada en abstracto, la estudia la matemática desde el punto de vista teórico, también se llama matemática teórica.

Entre las ramas de la matemática pura podemos mencionar la aritmética, álgebra, geometría y trigonometría.

Matemática aplicada

Estudio de la cantidad considerada la actividad particular en relación con ciertos fenómenos físicos. Es la matemática dedicada una rama particular del conocimiento. Entre la matemática aplicada se encuentra la matemática financiera

MATEMÁTICA FINANCIERA

Es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, al combinar elementos fundamentales (Capital, tasa, tiempo) para conseguir un rendimiento o interés,  al brindar herramientas y métodos que permitan tomar la decisión más correcta a la hora de realizar una inversión.

Interés

Interés, pago realizado por la utilización del dinero de otra persona. En economía, se considera, más específicamente, un pago realizado por la obtención del capital. Los economistas también consideran el interés como la recompensa del ahorro, es decir, el pago que se ofrece a los individuos para que ahorren, permitiendo que otras personas accedan a este.

Para la teoría económica en el interés es el precio del dinero. Normalmente sólo se pagan intereses sobre el principal, es decir sobre la totalidad del dinero prestado, lo que se denomina interés simple.

En algunos casos, el interés no sólo se paga sobre el principal, sino también sobre el total acumulado del principal y de los intereses pendientes de pago. Este procedimiento se conoce bajo el nombre de interés compuesto: el tipo de interés se expresa como porcentaje del principal, o la parte por unidad que se paga por utilización de una unidad monetaria a lo largo de un determinado tiempo, normalmente un año.

 Modos de cálculo del interés

Interés simple. Metodología de cálculo en la que los intereses no se acumulan para calcular interés en el periodo siguiente es decir el capital permanece constante a lo largo de todos los periodos.

Interés compuesto.-Metodología de cálculo en la que los intereses se acumulan para calcular el interés en el período siguiente.

Las variables financieras

Tasa de interés                                (i)

Tiempo                                        (n)

Capital inicial                                (P)

Capital final                                (S)

Flujo de efectivo                        (R)

Interés                                        (I)

Tasa de interés (i)

Tasa es la relación entre dos variables, consecuentemente, la tasa de interés es la relación entre la ganancia del dinero y el tiempo o dicho de otra forma es la ganancia de una unidad monetaria por cada periodo.

La tasa de interés se expresa en tanto por uno; ejemplo: 0.05 (cinco centésimas por unidad anual, o en % ejemplo 5% anual).

El interés es función del tiempo, consecuentemente siempre debe expresarse el tiempo ejemplo 3% mensual, 4% trimestral etc.

Si no se expresa el tiempo se entiende tasa anual sin embargo, no se recomienda omitirla para ser precisos en la expresión.

La tasa de interés por definición es vencida y por lo tanto efectiva para el periodo expresado. También se llama tasa de descuento tasa interna de retorno (TIR)

El tiempo (n)

Se expresa el número de periodos. Los períodos representan tiempo y pueden ser:

Años, bimestres, trimestres, meses, semanas, días horas etc.

Es indispensable que la tasa de interés coincida con el periodo. Es decir: el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal. .

Si la tasa es anual, los períodos deben estar expresados en años, si la tasa es mensual los períodos deben expresarse en meses etc.

Es indispensable el transcurso del tiempo para que se generen intereses.

Stock de capital.

Es una cantidad de dinero  tomada al inicio o final del horizonte temporal y se presenta en dos momentos:

Capital inicial (P).-Es stock de capital al inicio del horizonte temporal, es el  capital que no incluye intereses, también se denomina, valor actual, valor presente, valor presente neto valor actual neto o van.

Capital final(S).-Es el de stock de capital al finalizar el horizonte temporal, este lector capital inicial más los intereses también recibe otros nombres, monto, monto capitalizado, saldo, o valor nominal en el caso de descuentos.

Concepto a partir del cual podemos establecer la siguiente equivalencia:

S=P+I

Donde:

S= Capital final

P= Capital inicial.

I= interés

Flujo de efectivo (R)

Serie de pagos periódicos, se llama también pago, cuota, o anualidad, aun cuando este último término está decidido a pagos periódicos anuales.

Interés (I)

Ganancia de capital (P) en un tiempo(n) y a una tasa periódica  (i) determinada.

INTERÉS SIMPLE

Modalidad de cálculo en la que los intereses devengados no se acumulan al capital inicial para calcular en el periodo siguiente.

La fórmula para calcular el interés simple es la siguiente:

[pic 1]

Donde:

I= interés

P= capital inicial.

i= tasa de interés periódica unitaria.

n= número de períodos.

En esta fórmula por facilidad de cálculo se usa la tasa unitaria periódica es decir:

 [pic 2]

La tasa periódica de debe  expresarse en los mismos términos temporales del periodo (si las tasas anual, los periodos deben estar expresado en años, si la tasa es mensual, los periodos deben estar expresados en meses, etc. Para este fin se recomienda dejar la tasa tal como está expresada y modificar el tiempo para que coincida con la tasa (1)

La utilidad de este procedimiento se verá más adelante cuando apliquemos el interés compuesto.

[pic 3]

Una disquisición importante

Cuando la tasa y el tiempo están expresados en los mismos términos temporales, como por ejemplo tasa anual y tiempo en años, o tasa mensual y tiempo en meses, no hay problema alguno y la fórmula puede escribirse como está.

Pero si la tasa y el tiempo no están expresadas en los mismos términos temporales caben dos posibilidades: expresar la tasa en los términos temporales del tiempo, o expresar el tiempo en los términos temporales de la tasa.

Cuando esto ocurre en el interés simple no hay diferencia alguna en el resultado, porque el orden de los factores no altera el producto.

Por alguna razón que desconocemos los teóricos de la matemática financiera optaron por adecuar la tasa a los términos temporales del tiempo.

Esto ocasionó un error de cálculo cuando se llevó el razonamiento  al interés compuesto, porque en esa modalidad de cálculo el tiempo se convierte en exponente en cuyo caso no tiene la misma connotación que un factor. Los cálculos con este error de razonamiento nos conducen a resultados erróneos

Ejemplo numérico

Calcular el interés simple de un capital de S/. 250.000,00en cinco meses a la tasa unitaria anual de 0,12 (12% anual)

Los datos son:

P=S/.250 000,00

i= 0,12 unitaria anual

n= 5 meses= 5/12 años.

Hemos realizado la sencilla operación de expresar los cinco meses en términos de años, ahora ya coincide la tasa anual con el tiempo expresado en años y podemos realizar el cálculo aplicando la fórmula[pic 4]

i=Pin[pic 5]

I=250 000, 00 x 0, 12 x 5/12[pic 6]

I= S/. 12 500, 00

NTERÉS COMPUESTO

DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DEL FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACIÓN (FSC).

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