Analisis foda y pestel de Chevrolet

RELACIONES Y FUNCIONES

1.1. DEFINICION Y EJEMPLOS ´

Definici´on 1.1.1. Sean A, B conjuntos, definimos el “par ordenado A coma B”, denotado

(A, B) como el conjunto (A, B) = {{A}, {A, B}}.

Observaci´on 1.1.1. Al elemento A lo llamamos “primer elemento del par ordenado” o

tambi´en “abscisa”.

Al elemento B lo llamamos “segundo elemento del par ordenado” o tambi´en “ordenada”.

Ejemplo 1.1.1. Es evidente que (2, 3) = {{2}, {2, 3}} ̸= (3, 2) = {{3}, {3, 2}}.

Definici´on 1.1.2. Sean A, B conjuntos, definimos el producto cartesiano de A con B

denotado por A × B, como el conjunto tal que

A × B = {(a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} .

Ejemplo 1.1.2. Si A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} entonces

A × B = {(1, 3),(1, 4),(2, 3),(2, 4),(3, 3),(3, 4)}

B × A = {(3, 1),(3, 2),(3, 3),(4, 1),(4, 2),(4, 3)} .

Observaci´on 1.1.2.

a) n(A × B) = n(A) · n(B).

b) En general A × B ̸= B × A.

c) A × B = ∅ ⇔ (A = ∅) ∨ (B = ∅).

d) A × B ̸= ∅ ⇔ (A ̸= ∅) ∧ (B ̸= ∅).

Definici´on 1.1.3. Sean A, B conjuntos, definimos una relaci´on R de A a B como cualquier

subconjunto de A × B.

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Observaci´on 1.1.3. Nos interesan las relaciones que se determinan mediante cierta ley de

formaci´on, as´ı, una relaci´on R de A a B es

R ⊆ A × B = {(a, b) / p((a, b))}

donde p((a, b)) es una f´ormula proposicional dada.

Ejemplo 1.1.3. Considere los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, N; determine

por extensi´on las siguientes relaciones

a) R1 ⊆ A × B = {(a, b) / a + b es un n´umero par}.

b) R2 ⊆ A × B =

{

(x, y) / x2 + y

2 > 6

}

.

c) R3 ⊆ N × N = {(a, b) / a + 2b = 15}.

d) R4 =







(x, y) /

√2x+y

3

2

− 1 = 0







.

Soluci´on. Despu´es de realizar A × B y N × N obtenemos

R1 = {(1, 1),(1, 3),(2, 2),(2, 4),(3,1),(3, 3)}

R2 = {(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 1),(3, 2),(3, 3),(3, 4)}

R3 = {(1, 7),(3, 6),(5, 5),(7, 4),(9, 3),(11, 2),(13, 1)}

R4 = {(1, 10),(2, 8),(3, 6),(4, 4),(5, 2)} .

1.2. DOMINIO, RECORRIDO Y RELACION INVERSA ´

Definici´on 1.2.1. Sea R ⊆ A × B = {(a, b) / p((a, b))} una relaci´on, definimos:

a) Dominio de la relaci´on R, denotado Dom(R), al conjunto tal que

Dom(R) = {a ∈ A / ∃b ∈ B tal que (a, b) ∈ R} .

b) Recorrido de la relaci´on R, denotado Rec(R), al conjunto tal que

Rec(R) = {b ∈ B / ∃a ∈ A tal que (a, b) ∈ R} .

c) Relaci´on inversa de R, denotada R−1

, al conjunto tal que

R

−1 ⊆ B × A = {(p, q) / (q, p) ∈ R} .

Observaci´on 1.2.1.

a) El dominio de una relaci´on es el conjunto formado por las primeras componentes de

los pares de la relaci´on.

HERALDO GONZALEZ SERRANO ´ 3

b) El recorrido de una relaci´on es el conjunto formado por las segundas componentes

de los pares de la relaci´on.

c) La relaci´on inversa de una relaci´on R esta formada por los pares ordenados “rec´ıprocos” de los pares ordenados de R.

Ejemplo 1.2.1. En el ejemplo anterior

Dom(R1) = {1, 2, 3} , R−1

2 = {(3, 1),(4, 1),(2, 2),(3, 2),(4, 2),(1, 3),(2, 3),(3, 3),(4, 3)} .

Proposici´on 1.2.1. R ⊆ A × B = {(a, b) / p((a, b))} una relaci´on, entonces:

a) (

R−1

)−1 = R.

b) Dom(R) ⊆ A, Rec(R) ⊆ B.

c) Dom(R) = Rec (

R−1

)

, Rec(R) = Dom (

R−1

)

.

La demostraci´on queda propuesta.

1.3. COMPOSICION DE RELACIONES ´

Definici´on 1.3.1. Sean R ⊆ A× B, S ⊆ B ×C dos relaciones, entonces existe la relaci´on

compuesta de R con S, denotada S ◦ R tal que

S ◦ R ⊆ A × C = {(x, z) / ∃ y ∈ B tal que (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S} .

Ejemplo 1.3.1. Sean

R ⊆ A × B = {(1, a),(2, b),(3, c),(4, c)} , S ⊆ B × C = {(a, x),(a, y),(b, y)}

dos relaciones con A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e}, C = {x, y, z, w, p}, entonces

a) S ◦ R = {(1, x),(1, y),(2, y)}.

b) (S ◦ R)

−1 = {(x, 1),(y, 1),(y, 2)}.

c) R−1 = {(a, 1),(b, 2),(c, 3),(c, 4)}.

d) S

−1 = {(x, a),(y, a),(y, b)}.

e) R−1 ◦ S

−1 = {(x, 1),(y, 1),(y, 2)}.

Ejemplo 1.3.2. Sean R ⊆ A×B, S ⊆ B ×C dos relaciones. Demuestre que (S ◦R)

−1 =

R−1 ◦ S

−1

.

Soluci´on. Debemos demostrar:

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a) (S ◦ R)

−1 ⊆ R−1 ◦ S

−1

.

b) R−1 ◦ S

−1 ⊆ (S ◦ R)

−1

.

a) Sea (x, y) ∈ (S ◦ R)

−1 debemos demostrar que (x, y) ∈ R−1 ◦ S

−1

.

(x, y) ∈ (S ◦ R)

−1 ⇒ (y, x) ∈ S ◦ R

⇒ ∃ m ∈ B tal que (y, m) ∈ R ∧ (m, x) ∈ S

⇒ ∃ m ∈ B tal que (x, m) ∈ S

−1 ∧ (m, y) ∈ R

−1

⇒ (x, y) ∈ R

−1

◦ S

−1

.

b) Sea (a, b) ∈ R−1 ◦ S

−1 debemos demostrar que (a, b) ∈ (S ◦ R)

−1

.

(a, b) ∈ R

−1

◦ S

−1 ⇒ ∃ n ∈ B tal que (a, n) ∈ S

−1 ∧ (n, b) ∈ R

−1

⇒ ∃ n ∈ B tal que (b, n) ∈ R ∧ (n, a) ∈ S

⇒ (b, a) ∈ S ◦ R

⇒ (a, b) ∈ (S ◦ R)

−1

.

Ejemplo 1.3.3. Sean A, B, C conjuntos y T ⊆ A × B, S ⊆ B × C dos relaciones.

Demuestre que

(R ∪ S) ◦ T ⊆ (R ◦ T) ∪ (S ◦ T) donde R ⊆ B × C.

Soluci´on. Sea (a, b) ∈ (R ∪ S) ◦ T, debemos demostrar que (a, b) ∈ (R ◦ S) ∪ (S ◦ T).

(a, b) ∈ (R ∪ S) ◦ T ⇒ ∃ c ∈ B tal que (a, c) ∈ T ∧ (c, b) ∈ R ∪ S

⇒ (a, c) ∈ T ∧ ((c, b) ∈ R ∨ (c, b) ∈ S)

⇒ ((a, c) ∈ T ∧ (c, b) ∈ R) ∨ ((a, c) ∈ T ∧ (c, b) ∈ S)

⇒ (a, b) ∈ R ◦ T ∨ (a, b) ∈ S ◦ T

⇒ (a, b) ∈ (R ◦ T) ∪ (S ◦ T).

Ejemplo 1.3.4. Sea A un conjunto y considere las relaciones R ⊆ A2 y Id ⊆ A2 =

{(x, y) / x = y}. Demuestre que R ◦ Id = R.

Soluci´on. Debemos demostrar que: a) R ◦ Id ⊆ R, b) R ⊆ R ◦ Id.

a) Sea (x, z) ∈ R ◦ Id, debemos demostrar que (x, z) ∈ R.

(x, z) ∈ R ◦ Id ⇒ ∃ y ∈ A tal que (x, y) ∈ Id ∧ (y, z) ∈ R, pero (x, y) ∈ Id indica

que x = y, as´ı, (x, z) ∈ R.

b) Sea (x, z) ∈ R, debemos demostrar que (x, z) ∈ R ◦ Id.

Sea(x, z) ∈ R, como (x, x) ∈ Id entonces (x, x) ∈ Id ∧ (x, z) ∈ R, de esto ´ultimo

concluimos que (x, z) ∈ R ◦ Id.

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1.4. RELACIONES EN UN CONJUNTO

Definici´on 1.4.1. Sea A un conjunto. Decimos que la relaci´on R est´a definida en A si

R ⊆ A × A.

Definici´on 1.4.2. Sea R una relaci´on definida en A, entonces:

a) R es relaci´on refleja ⇔ (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A.

b) R es relaci´on sim´etrica ⇔ (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R ∀ (x, y) ∈ R.

c) R es relaci´on transitiva ⇔ [(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R] ⇒ (a, c) ∈ R ∀ (x, y) ∈ R.

d) R es relaci´on antisim´etrica ⇔ [(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R] ⇒ (a = b) ∀ (x, y) ∈ R.

Observaci´on 1.4.1.

a) Denotamos R ⊆ A2

en lugar de R ⊆ A × A.

b) Si (a, b) ∈ R podemos denotar aRb.

c) R no es refleja ⇔ ∃ a ∈ A tal que (a, a) ∈/ R.

d) R no es sim´etrica ⇔ (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈/ R.

e) R no es transitiva ⇔ (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ∧ (a, c) ∈/ R.

f) R no es antisim´etrica ⇔ (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ∧ (a ̸= b).

Ejemplo 1.4.1. Sea A = {1, 2, 3} y R ⊆ A2 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),((1, 3),(3, 3)}.

¿Es R una relaci´on refleja, sim´etrica, transitiva, antisim´etrica?.

Soluci´on. Como (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A entonces R es relaci´on refleja.

R no es sim´etrica ya que (1, 3) ∈ R ∧ (3, 1) ∈/ R.

R es transitiva ya que se verifica la condici´on.

R no es antisim´etrica ya que (1, 2) ∈ R ∧ (2, 1) ∈ R pero 1 ̸= 2.

Ejemplo 1.4.2. Sea R una relaci´on en A. Demuestre que R es sim´etrica ⇔ R = R−1

.

Soluci´on.

⇒) Si R es sim´etrica debemos demostrar que R = R−1

, es decir, debemos demostrar que

a) R ⊆ R−1

.

Sea (x, y) ∈ R entonces como R es sim´etrica concluimos que (y, x) ∈ R, as´ı, por

definici´on de relaci´on inversa conseguimos (x, y) ∈ R−1

, luego R ⊆ R−1

.

b) R−1 ⊆ R.

Sea (a, b) ∈ R−1

entonces (b.a) ∈ R y como R es sim´etrica entonces (a, b) ∈ R; as´ı,

R−1 ⊆ R.

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Por a) y b) R = R−1

.

⇐) Sabemos que R = R−1

, debemos demostrar que R es sim´etrica.

Sea (a, b) ∈ R entonces (b, a) ∈ R−1

, como R = R−1

entonces (b, a) ∈ R, as´ı, R es

sim´etrica.

1.5. RELACION DE ORDEN Y DE EQUIVALENCIA ´

1.5.1. Relaci´on de equivalencia

Definici´on 1.5.1. Decimos que la relaci´on R ⊆ A2

es una relaci´on de equivalencia

...