Analisis foda y pestel de Chevrolet
Enviado por Estenai • 27 de Junio de 2021 • Monografías • 8.307 Palabras (34 Páginas) • 725 Visitas
RELACIONES Y FUNCIONES
1.1. DEFINICION Y EJEMPLOS ´
Definici´on 1.1.1. Sean A, B conjuntos, definimos el “par ordenado A coma B”, denotado
(A, B) como el conjunto (A, B) = {{A}, {A, B}}.
Observaci´on 1.1.1. Al elemento A lo llamamos “primer elemento del par ordenado” o
tambi´en “abscisa”.
Al elemento B lo llamamos “segundo elemento del par ordenado” o tambi´en “ordenada”.
Ejemplo 1.1.1. Es evidente que (2, 3) = {{2}, {2, 3}} ̸= (3, 2) = {{3}, {3, 2}}.
Definici´on 1.1.2. Sean A, B conjuntos, definimos el producto cartesiano de A con B
denotado por A × B, como el conjunto tal que
A × B = {(a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} .
Ejemplo 1.1.2. Si A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} entonces
A × B = {(1, 3),(1, 4),(2, 3),(2, 4),(3, 3),(3, 4)}
B × A = {(3, 1),(3, 2),(3, 3),(4, 1),(4, 2),(4, 3)} .
Observaci´on 1.1.2.
a) n(A × B) = n(A) · n(B).
b) En general A × B ̸= B × A.
c) A × B = ∅ ⇔ (A = ∅) ∨ (B = ∅).
d) A × B ̸= ∅ ⇔ (A ̸= ∅) ∧ (B ̸= ∅).
Definici´on 1.1.3. Sean A, B conjuntos, definimos una relaci´on R de A a B como cualquier
subconjunto de A × B.
1
2 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
Observaci´on 1.1.3. Nos interesan las relaciones que se determinan mediante cierta ley de
formaci´on, as´ı, una relaci´on R de A a B es
R ⊆ A × B = {(a, b) / p((a, b))}
donde p((a, b)) es una f´ormula proposicional dada.
Ejemplo 1.1.3. Considere los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, N; determine
por extensi´on las siguientes relaciones
a) R1 ⊆ A × B = {(a, b) / a + b es un n´umero par}.
b) R2 ⊆ A × B =
{
(x, y) / x2 + y
2 > 6
}
.
c) R3 ⊆ N × N = {(a, b) / a + 2b = 15}.
d) R4 =
(x, y) /
√2x+y
3
2
− 1 = 0
.
Soluci´on. Despu´es de realizar A × B y N × N obtenemos
R1 = {(1, 1),(1, 3),(2, 2),(2, 4),(3,1),(3, 3)}
R2 = {(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 1),(3, 2),(3, 3),(3, 4)}
R3 = {(1, 7),(3, 6),(5, 5),(7, 4),(9, 3),(11, 2),(13, 1)}
R4 = {(1, 10),(2, 8),(3, 6),(4, 4),(5, 2)} .
1.2. DOMINIO, RECORRIDO Y RELACION INVERSA ´
Definici´on 1.2.1. Sea R ⊆ A × B = {(a, b) / p((a, b))} una relaci´on, definimos:
a) Dominio de la relaci´on R, denotado Dom(R), al conjunto tal que
Dom(R) = {a ∈ A / ∃b ∈ B tal que (a, b) ∈ R} .
b) Recorrido de la relaci´on R, denotado Rec(R), al conjunto tal que
Rec(R) = {b ∈ B / ∃a ∈ A tal que (a, b) ∈ R} .
c) Relaci´on inversa de R, denotada R−1
, al conjunto tal que
R
−1 ⊆ B × A = {(p, q) / (q, p) ∈ R} .
Observaci´on 1.2.1.
a) El dominio de una relaci´on es el conjunto formado por las primeras componentes de
los pares de la relaci´on.
HERALDO GONZALEZ SERRANO ´ 3
b) El recorrido de una relaci´on es el conjunto formado por las segundas componentes
de los pares de la relaci´on.
c) La relaci´on inversa de una relaci´on R esta formada por los pares ordenados “rec´ıprocos” de los pares ordenados de R.
Ejemplo 1.2.1. En el ejemplo anterior
Dom(R1) = {1, 2, 3} , R−1
2 = {(3, 1),(4, 1),(2, 2),(3, 2),(4, 2),(1, 3),(2, 3),(3, 3),(4, 3)} .
Proposici´on 1.2.1. R ⊆ A × B = {(a, b) / p((a, b))} una relaci´on, entonces:
a) (
R−1
)−1 = R.
b) Dom(R) ⊆ A, Rec(R) ⊆ B.
c) Dom(R) = Rec (
R−1
)
, Rec(R) = Dom (
R−1
)
.
La demostraci´on queda propuesta.
1.3. COMPOSICION DE RELACIONES ´
Definici´on 1.3.1. Sean R ⊆ A× B, S ⊆ B ×C dos relaciones, entonces existe la relaci´on
compuesta de R con S, denotada S ◦ R tal que
S ◦ R ⊆ A × C = {(x, z) / ∃ y ∈ B tal que (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S} .
Ejemplo 1.3.1. Sean
R ⊆ A × B = {(1, a),(2, b),(3, c),(4, c)} , S ⊆
...