Autoseguro. El entorno del consumidor.Dotación no estocástica

Capítulo 16

Autoseguro

16.1. Introducción

En este capítulo se describe una versión de lo que a veces se llama un problema de ahorro (por ejemplo, Chamberlain y Wilson, 2000). Un consumidor quiere maximizar la suma de descuento esperado de una función cóncava de un periodo de tasas de consumo, como en el capítulo 8. Sin embargo, el consumidor está separado de todos los mercados de seguros y de casi todos los mercados de activos. El consumidor sólo puede comprar cantidades no negativas de un activo libre de riesgo. La falta de oportunidades de seguros induce al consumidor a ajustar sus carteras de activos para adquirir un "autoseguro".

Este modelo es interesante para nosotros en parte como punto de referencia para comparar con el modelo de mercados completos del capítulo 8 y algunos de los modelos de contratos recursivos del capítulo 19, donde la información y la aplicación de los problemas restringen asignaciones relativas al capítulo 8, pero sin embargo permiten más seguros de lo que es permitido en este capítulo. Una generalización del modelo de un solo agente de este capítulo también será un componente importante de los modelos de mercados incompletos del capítulo 17. Por último, el capítulo proporciona nuestro primer contacto con el poderoso teorema de convergencia supermartingala.

Para resaltar los efectos de la incertidumbre y de las limitaciones de préstamo, estudiaremos versiones del problema de ahorros bajo supuestos alternativos sobre la rigurosidad de la restricción de crédito y supuestos alternativos acerca de si la corriente de dotación doméstica es conocida o incierta.

16.2. El entorno del consumidor

Un agente ordena las corrientes de consumo según

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donde β ∈ (0, 1), y u(c) es una función, estrictamente creciente, estrictamente cóncava, dos veces continuamente diferenciable, del consumo de un único bien c. El agente está dotado de una secuencia aleatoria infinita  del bien. Cada periodo, la dotación toma un valor de un número finito de valores, indexados por s ∈ S.[pic 2]

En particular, el conjunto de posibles dotaciones es   . Los elementos de la secuencia de las dotaciones se distribuyen de forma independiente e idéntica con Prob, y . No hay mercados de seguros.[pic 3][pic 4][pic 5]

El agente puede contener cantidades no negativas de un solo activo libre de riesgo que tiene una tasa neta de rendimiento r, donde . Sea  los activos del al inicio del periodo , incluyendo la realización actual del proceso de ingreso. (Más adelante vamos a utilizar una notación común y alternativa definiendo  como la deuda del consumidor en el inicio del período t, excluyendo la dotación en el tiempo t.) Asumiendo que  es extraída de la distribución de la dotación invariante en el tiempo . (Esto es equivalente a suponer que  en la notación alternativa.) El agente se enfrenta a la secuencia de limitaciones presupuestarias[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

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donde , con  dado. La restricción  de las explotaciones del activo al final del período (que evidentemente es igual a ) no debe ser negativa. La restricción es o impuesta o se trata de una condición Inada .[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

La ecuación de Bellman para un agente con a > 0 es

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sujeto a 0 ≤ c ≤ a,

donde  es la realización de ingresos en el estado . La función de valor  hereda las propiedades básicas de ; es decir,  es creciente, estrictamente cóncava y diferenciable.[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

El "autoseguro" se produce cuando el agente utiliza los ahorros para asegurarse él mismo contra las fluctuaciones del ingreso. Por un lado, en respuesta a las realizaciones de bajos ingresos, un agente puede reducir sus ahorros y evitar grandes caídas temporales en el consumo. Por otro lado, el agente puede ahorrar parcialmente realizaciones de altos ingresos en previsión de pobres resultados en el futuro. Estamos interesados en las propiedades a largo plazo de un esquema óptimo de "autoseguro". ¿Se asentará el consumo futuro del agente alrededor de algún nivel ?^[1]  ¿O el agente se empobrecerá eventualmente?^[2]  Siguiendo el análisis de Chamberlain y Wilson (2000) y Sotomayor (1984), vamos a demostrar que ninguno de estos resultados ocurre: el consumo se desviará hasta el infinito[pic 26]

Antes de analizar en términos de incertidumbre, vamos a considerar brevemente el problema de ahorros bajo cierta secuencia de dotación. Con una dotación no aleatoria que no crece continuamente, el consumo converge.

16.3. Dotación no estocástica

Sin la incertidumbre, la cuestión del seguro es discutible. Sin embargo, es instructivo estudiar las decisiones de consumo óptimas de un agente con un flujo de ingresos desiguales ante una restricción de crédito. Dividimos el análisis del caso no estocástico en dos partes, dependiendo de la severidad de la restricción de créditos. Comenzamos con restricción menos estricta de crédito, a saber, la restricción de crédito natural en un período de valores Arrow, que son libres de riesgo en el contexto actual. Después de eso, ajustaremos arbitrariamente la restricción de préstamo para llegar a la condición de ausencia de préstamo  impuesta en el planteamiento del problema en la sección anterior.[pic 27]

Por conveniencia, utilizamos temporalmente nuestra notación alternativa. Dejamos que  sea la cantidad de la deuda de un período que el consumidor debe en el momento t;  está relacionada con  por[pic 28][pic 29][pic 30]

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con . Aquí  es la posición de activos del consumidor antes de la realización del tiempo t de dotación. En esta notación, la restricción de presupuesto de tiempo t (16.2.2) se convierte en[pic 32][pic 33]

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donde, en términos de   queremos expresar una restricción de ausencia de préstamo  como[pic 35][pic 36]

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La restricción de no préstamo (16.3.2) es, evidentemente, más estricta que la restricción de crédito natural en un período de valores Arrow que hemos impuesto en el capítulo 8. Bajo una condición de Inada en , o, alternativamente, cuando  se impone, la restricción crediticia natural en este caso no estocástico se encuentra resolviendo (16.3.1) con :[pic 38][pic 39][pic 40]

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El lado derecho es la cantidad máxima que es factible pagar en el tiempo t cuando [pic 42]

Resolver (16.3.1) e imponer la condición inicial  para obtener[pic 43]

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Cuando , bajo las restricciones de crédito naturales, esta es la única limitación que las limitaciones presupuestarias (16.3.1) imponen a la sucesión  Las condiciones de primer orden para la maximización de (16.2.1) sujeto a (16.3.4) son[pic 45][pic 46]

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Es posible satisfacer estas condiciones de primer orden estableciendo para todo , donde  es el nivel de consumo constante elegido para satisfacer (16.3.4) a la igualdad:[pic 48][pic 49][pic 50]

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con esta norma,  está dado por[pic 52]

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donde la última igualdad invoca a (16.3.6). Esta expresión para  es evidentemente menor que o igual a   para todo . Por lo tanto, en virtud de las restricciones de crédito natural, tenemos el consumo constante para , es decir, la nivelación perfecta del consumo a lo largo del tiempo.[pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

Los límites naturales de la deuda permiten que  sea positivo, siempre que no sea demasiado grande. A continuación estudiaremos el límite de deuda ad hoc más severo que requiere , de modo que el consumidor pueda prestar, pero no pedir prestado. Esta restricción inhibirá la nivelación del consumo de los hogares cuyos ingresos son crecientes, y que, por ello, son naturalmente prestatarios.^[3][pic 59][pic 60]

16.3.1. Una restricción ad hoc de préstamo: activos no negativos

Seguimos asumiendo una secuencia de dotación conocida pero ahora imponemos una restricción de no préstamo  . Para facilitar la transición a la nuestro análisis posterior del problema en condiciones de incertidumbre, trabajamos en términos de una definición de activos que incluyen los ingresos de este período, en .^[4] Sea  la denotación de un camino óptimo. Las condiciones necesarias de primer orden condiciones necesarias para que sea óptimo son:[pic 61][pic 62][pic 63]

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para . A lo largo de una trayectoria óptima, debe ser cierto que: [pic 65]

 ; o [pic 66]

 y por tanto . [pic 67][pic 68]

La condición (b) establece que la restricción de no préstamo se ajusta sólo cuando el consumidor desea sustituir el consumo del futuro al presente. Él deseará hacerlo solamente cuando su dotación es creciente.

De acuerdo a las condiciones a y b,  nunca puede exceder . La razón es que una secuencia  descendente de consumo se puede mejorar mediante la reducción de una unidad marginal de consumo en el tiempo  con una pérdida de utilidad de   y el aumento de consumo en el tiempo  por el ahorro más los intereses con una ganancia de utilidad descontada de , donde la desigualdad se sigue de la concavidad estricta de  y . Un argumento simétrico descarta , siempre y cuando la restricción de no negatividad sobre el ahorro no es vinculante; es decir, un agente elegiría recortar sus ahorros para hacer igual a  como en la condición a. Por lo tanto, aumenta el consumo de un período a otro como en la condición b solo para un agente restringido con cero ahorros,   . Se sigue que los activos del siguiente período son entonces iguales a los ingresos del siguiente período,  . La solución de la restricción presupuestaria (16.2.2) en la igualdad para at y reordenando da:[pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

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