Base Simulacion Gerencial

Aplicación de la simulación con hoja de cálculo a la Teoría de Colas

XIII Jornadas de ASEPUMA 1

APLICACIÓN DE LA SIMULACIÓN CON HOJA DE

CÁLCULO A LA TEORÍA DE COLAS

Bernal García, Juan Jesús

Martínez María Dolores, Soledad María

Sánchez García, Juan Francisco

Dpto. Métodos Cuantitativos e Informáticos

Universidad Politécnica de Cartagena

RESUMEN

En la Teoría de Colas, en ocasiones, es preciso recurrir a la simulación de

fenómenos de espera generando valores de entrada y salida de acuerdo con los distintos

modelos existentes. Para realizar dicha simulación es posible recurrir a determinadas

aplicaciones informáticas especializadas en este tipo de cálculos o hacer uso de

aplicaciones de uso general como las hojas de cálculo. En el presente trabajo probamos

la idoneidad de dicha simulación utilizando las funciones estadísticas propias de la

versión 2003 de la conocida aplicación Microsoft® Excel. Además de comprobar el

funcionamiento de dichas funciones, se han programando mediante el uso de Visual

Basic para Aplicaciones (VBA) aquellas otras que son necesarias para tener recogidas

todas las posibilidades y que no son incorporadas por Excel, probando también que

cumplen todos los requisitos que son exigibles para este tipo de cálculos.

Juan J. Bernal García, Soledad M. Martínez María Dolores, Juan F. Sánchez García

2 XIII Jornadas de ASEPUMA

1. INTRODUCCIÓN

Junto con los resultados proporcionados por la Teoría de Colas, en ocasiones, es

preciso recurrir a la simulación de fenómenos de espera generando valores de entrada y

de salida de acuerdo con diferentes modelos que existen en la Teoría. Para realizar dicha

simulación se pueden usar aplicaciones específicas, o bien utilizar aplicaciones de uso

general como las hojas de cálculo.

2. GENERACIÓN DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS

2.1. Métodos de generación de números pseudoaleatorios

Se necesita en primer lugar un procedimiento que genere valores aleatorios

uniformemente distribuidos entre 0 y 1. A tal fin, la hoja de cálculo dispone de una

función que recibe el nombre de ALEATORIO(). Realmente, los números generados no

son números aleatorios, sino pseudoaleatorios pues no son debidos realmente al azar,

sino que proceden de cálculos matemáticos que tratan de imitar dicho azar.

Existen otros métodos comúnmente utilizados en la literatura (Álvarez Madrigal,

Coss, Escudero y Rubinstein), que también sirven para generar valores

pseudoaleatorios:

1. Método de los cuadrados medios.

2. Técnica de mitad del producto.

3. Método del multiplicador constante.

4. Método congruencial.

5. Método congruencial aditivo.

6. Método congruencial lineal.

2.2. Validación de los números pseudoaleatorios generados

Una vez que se han generado los valores pseudoaleatorios según la distribución

uniforme se debe comprobar que efectivamente están uniformemente distribuidos, lo

que significa que son uniformes e independientes.

Para probar la uniformidad se aplica la prueba de Kolmogorov-Smirnov, la

prueba de la 2
y la prueba de los promedios; mientras que para probar la

independencia se utiliza el test de rachas y la prueba de poker.

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En las figuras 1 a 4 se muestran, para un nivel de confianza del 95%, las pruebas

de Kolmogorov-Smirnov, 2
, de rachas y de los promedios que se han realizado sobre

1000 valores simulados utilizando la función ALEATORIO() de Excel. Tras efectuar

diversas tiradas aleatorias comprobamos que las pruebas resultan satisfactorias en todos

los casos.

CLASE FRECUENCIA F.R.ACUM. TEÓRICA DIFERENCIA

0,1 81 0,081 0,1 0,019

0,2 106 0,187 0,2 0,013

0,3 96 0,283 0,3 0,017

0,4 96 0,379 0,4 0,021

0,5 110 0,489 0,5 0,011

0,6 107 0,596 0,6 0,004

0,7 99 0,695 0,7 0,005

0,8 84 0,779 0,8 0,021

0,9 107 0,886 0,9 0,014

1 114 1 1 0,000

TOTAL 1000

TEST KOLMOGOROV-SMIRNOV

Diferencia máxima 0,021

Estimador Kolmogorov-Smirnov

D0,05;1000 0,043

NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS DE UNIFORMIDAD

Figura 1

CLASE FRECUENCIA F. TEÓRICA CHI CUADRADO

0,1 81 100 3,610

0,2 106 100 0,360

0,3 96 100 0,160

0,4 96 100 0,160

0,5 110 100 1,000

0,6 107 100 0,490

0,7 99 100 0,010

0,8 84 100 2,560

0,9 107 100 0,490

1 114 100 1,960

TOTAL 1000 10,8

TEST CHI CUADRADO

CHI-CUADRADO 10,800

Estimador

2

0,05;9 16,919

NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS DE UNIFORMIDAD

Figura 2

TEST DE RACHAS

U 667

MEDIA 666,333

DESV.TÍPICA 13,321

Z 0,050

Z0,025 1,960

NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS DE UNIFORMIDAD

TEST DE LOS PROMEDIOS

MEDIA 0,513

Z 1,447

Z0,025 1,960

NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS DE UNIFORMIDAD

Figura 3 Figura 4

Juan J. Bernal García, Soledad M. Martínez María Dolores, Juan F. Sánchez García

4 XIII Jornadas de ASEPUMA

3. GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS CON

DISTRIBUCIÓN NO UNIFORME

3.1. Métodos de generación

Existen diversas técnicas para generar variables aleatorias cuya distribución no

es uniforme.

3.1.1. Técnica de la transformada inversa (figura 5).

Figura 5

Esta técnica utiliza números aleatorios uniformes para generar variables

aleatorias con una distribución específica. Los pasos a seguir son:

1. Decidir la función de densidad f (x) que se desea para la variable a generar.

2. Calcular la función acumulada de probabilidad F(x) para la variable aleatoria

deseada.

3. Formular la ecuación i F(x) =U .

4. Resolver la ecuación anterior, es decir, calcular F U x i = −1 ( ) .

5. Generar los valores de la variable deseada.

La principal limitación de este método es que la función de densidad de la

distribución debe ser fácilmente integrable.

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3.1.2. Técnica gráfica de la transformada inversa (figura 6).

Figura 6

Este método se utiliza cuando las variables aleatorias no se comportan de forma

continua o no tienen una distribución conocida. Los pasos a seguir son:

1. Generar un histograma que exprese las probabilidades deseadas en las

variables a generar.

2. Encontrar la probabilidad acumulada a partir del histograma.

3. Localizar algún i U en el intervalo [0,1] en el eje de ordenadas de la gráfica de

probabilidad acumulada.

4. Proyectar hasta el polígono de la curva de probabilidad acumulada y después

reflejar sobre el eje de coordenadas, encontrando el valor de una variable aleatoria con

la distribución deseada. Si la variable aleatoria buscada es discreta, x tomará el valor de

la marca de clase correspondiente, y, si es continua, el valor se calculará mediante

interpolación lineal.

3.1.3. Método polar.

Esta técnica se utiliza cuando la distribución no es integrable en todos los

intervalos, como es el caso de la distribución normal. Su razonamiento es que al

representar pares de coordenadas ( ) 1 2 Z ,Z normales estándar seleccionadas al azar de

una tabla, se obtiene un diagrama de dispersión con correlación aproximada de cero, es

decir, los puntos representados están distribuidos homogéneamente en todos los

cuadrantes.

Juan J. Bernal García, Soledad M. Martínez María Dolores, Juan F. Sánchez García

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3.2. Validación de los valores generados

Para validar los valores simulados de una variable se utilizan la prueba de la 2

y la prueba de Kolmogorov-Smirnov con datos agrupados.

4. SIMULACIÓN MEDIANTE HOJA DE CÁLCULO

4.1. Funciones estadísticas: Distribuciones probabilísticas

Hasta hace algunos años las funciones de tipo estadístico que incorporaban las

distintas aplicaciones de hoja de cálculo eran muy limitadas, obligando al usuario a

programar aquellas funciones que necesitaba (Bernal García), o bien era preciso adquirir

programas complementarios como @RISK, Analyze-It, Crystal Ball y otros, que

incorporan funciones adicionales a la hoja de cálculo.

Así, en la última versión de la hoja de cálculo Excel aparece una amplia serie de

funciones estadísticas relacionadas con las distribuciones probabilísticas. Con todas

estas funciones se pueden realizar simulaciones basadas en las distribuciones beta, F,

gamma, logarítmico-normal, normal y t de Student, ya que para todas ellas existen

funciones inversas, las cuales a partir de la probabilidad acumulada y de los parámetros

propios de cada distribución devuelven el valor que hace que se obtenga dicha

probabilidad.

El procedimiento para ello consiste en generar números aleatorios de acuerdo

con la distribución uniforme

...