Confiabilidad y facilidad del mantenimiento

Tema 5

 Confiabilidad y facilidad

del mantenimiento

Propósito

Apreciar la importancia de la confiabilidad, comprender los mecanismos por los que fracasan los productos y entender las matemáticas que subyacen a estos procesos.

¿Porqué estudiar confiabilidad?

Necesitamos comprender las leyes de probabilidad que rigen a los patrones de falla para diseñar mejores procesos que produzcan sistemas confiables. Un análisis incorrecto puede tener consecuencias desastrosas. La confiabilidad es un componente clave de la calidad. Para diseñar un sistema efectivo de entrega de calidad se requerirá comprender la aleatoriedad del comportamiento de las fallas. En segundo lugar, será necesario comprender las propiedades de las fallas del equipo que se usa en el proceso de manufactura. De esta manera podemos desarrollar políticas efectivas de mantenimiento para esos equipos.

1. Confiabilidad de un solo componente

Para que el estudiante comprenda mejor y aprecie más algunas de las definiciones y conceptos de confiabilidad, comenzaremos con un ejemplo.

Ejemplo 5.1. En 1970, el ejército estadounidense compró 1,000 capacitores eléctricos para usarlos en radiotransmisores de corto alcance. El ejército mantuvo registros detallados del patrón de fallas de esos capacitores con los siguientes resultados:

Con base en estos datos, se desea estimar la distribución de probabilidad asociada con la falla de un capacitor seleccionado al azar.

Definiremos la variable aleatoria   como el tiempo que el capacitor funciona hasta que falla. Podemos estimar la función de distribución acumulada de  , con los datos citados. Usando símbolos:[pic 1][pic 2]

,[pic 3]

y con palabras,  es la probabilidad de que un componente elegido al azar falle en o antes del tiempo [pic 4][pic 5]

Para estimar    a partir de los datos, se determinará la cantidad acumulada de fallas y la proporción del total que representa esa cantidad cada año. Entonces:[pic 6]

Las proporciones son estimados de   para  Esas probabilidades se pueden usar en forma directa para calcular diversas cantidades de interés, considerando que   es una variable aleatoria discreta, o bien se pueden usar para estimar los parámetros de una distribución continua. Usaremos la versión discreta para contestar varias preguntas sobre la vida de los capacitores. Por ejemplo, supongamos que se intenta determinar:[pic 7][pic 8][pic 9]

1. La probabilidad de que un capacitor tomado al azar dure más de 5 años.
2. La proporción de los 1,000 capacitores originales que trabajaron y que fallaron en el año 6.
3. La proporción de los capacitores que sobreviven cuando menos 5 años y fallan en el año 6.
4. La proporción de los capacitores que sobreviven cuando menos 8 años y fallan en el año 9.

Solución:

1. [pic 10]

1. [pic 11]

1. A primera vista, parece que esta pregunta es igual a la del inciso b). Sin embargo, hay una diferencia importante. En el inciso b) se pide la proporción del conjunto original de capacitores que fallan en el año 6, mientras que en el inciso c) se pide la proporción de capacitores que duran cinco años, cuando menos, y que fallan en el año 6. Se trata de una probabilidad condicional.

[pic 12]

Observe que los eventos    y    son equivalentes, porque  .[pic 13][pic 14][pic 15]

1. Casi es exactamente igual a la proporción de capacitores que sobreviven más de 5 años y fallan en el año 6.  De hecho, la proporción de componentes que sobreviven  años y que fallan en el año  se aproxima mucho a 0.20, para  Esto da como resultado una distribución de fallas con ciertas propiedades excepcionales.[pic 16][pic 17][pic 18]

Si,

[pic 19]

[pic 20]

Entonces,

[pic 21]

Notación y definiciones preliminares

Veremos algunas definiciones que se usarán en lo que sigue de este tema. Como antes definimos la variable aleatoria  como la vida del componente. Se supone que   tiene una función   de distribución acumulada dada por:[pic 22][pic 23][pic 24]

.[pic 25]

En lo que sigue consideraremos que   es una función diferenciable de  :[pic 26][pic 27]

[pic 28]

de modo que existe la función  de densidad de probabilidades expresada por la ecuación:[pic 29]

[pic 30]

Además de las funciones de distribución y de densidad de la variable aleatoria T, nos interesan otras funciones afines. Una es la función de confiabilidad (que también se llama función de supervivencia). La función de confiabilidad del componente, se representa por   y está dada por:[pic 31]

[pic 32]

En palabras,  es la probabilidad de que un componente nuevo sobreviva más allá del tiempo . Observe que esto implica que  es la probabilidad de que un componente nuevo  no sobreviva más allá del tiempo .[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Considere la siguiente probabilidad condicional:

[pic 37]

Esta es la probabilidad condicional de que un componente nuevo falle entre    y   dado que dura más de .  Podemos imaginar que esta probabilidad condicional es lo siguiente:   es ahora, y  es un incremento de tiempo hacia el futuro. El evento  indica que el componente ha sobrevivido hasta el presente o, en otras palabras, que todavía funciona. El evento condicional   indica que el componente funciona ahora, pero fallará antes de que pasen otras   unidades de tiempo.[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

Recuerde de la teoría elemental de probabilidad, que para cualesquiera eventos A y B,

[pic 46]

En el caso especial en que  , de modo que:[pic 47]

[pic 48]

Se identifican los eventos como sigue:

 ,  y  .[pic 49][pic 50]

Con algo de razonamiento se llega a que en este caso particular,  , de modo que:[pic 51]

[pic 52]

Dividiremos ente    y haremos que  tienda a cero.[pic 53][pic 54]

[pic 55]

Esta relación es una cantidad fundamental en la teoría de la confiabilidad.  Definiremos a:

[pic 56]

Llamaremos a   la función de tasa de fallas.  Su deducción es la mejor manera de comprender lo que significa la función de tasa de fallas. Cuando  es positiva, la probabilidad condicional que se usó para llegar a  es la probabilidad de que un componente haya sobrevivido hasta el momento   , y que falle entre los tiempos   y  .  Dividir entre   y dejar que   tienda a 0 es lo mismo que determinar una primera derivada. Por consiguiente, la función de tasa de fallas es la rapidez con que cambia la probabilidad condicional de falla en el momento .  Se puede considerar como una medida de la probabilidad de que un componente que ha sobrevivido hasta el tiempo  falle en el siguiente instante.[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]

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