Estabilidad de un modelo de crecimiento logístico

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 Estabilidad de un modelo de crecimiento logístico

David Velez, Paola Velasteguí, Aaron Villacis, Carlos Viteri

1. Introducción

El modelo de crecimiento logístico de una población surge a partir de que se evidencia como una población no puede crecer exponencialmente hasta el infinito, debido a limitaciones de espacio, alimento, recursos, etc.  Debido a esto surge el modelo de crecimiento logístico (o de Verhulst) establece que, a mayor población, menor tasa de crecimiento [7]. La curva típica que se visualiza es la de la figura 1, que es una curva logarítmica con base mayor a 1, que representa una función creciente, pero también existe otra curva logarítmica, donde la base está entre 0 y 1 y representa una función decreciente. En ambos casos se visualiza que se llega a un equilibrio.

       [pic 2]                              [pic 3]                      Figura 1. Curva logarítmica base >1                Figura 2. Curva Logarítmica base entre 0 y 1

En el modelo de crecimiento logístico (o de Verhulst), utilizando la figura 1 en todo momento para visualizar la ejemplificación, al inicio la población crece a un ritmo muy alto, pero con el tiempo, pierde esta capacidad, debido a las interacciones de los miembros de la población. Se ecuación y solución es:

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Dónde K es la cota superior de la función, N es una función de t, r representa la tasa instantánea de crecimiento de la población, no es un valor constante como en una función exponencial [9]. La segunda ecuación que vemos es su solución, no obstante, no se resolverá las ecuaciones encontrando su función solución y reemplazando valores, sino que se va a aproximar la solución utilizando 3 métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, los cuales son Euler, Heun y Runge-Kutta. Estos cuentan con un valor h que dicta el salto entre una iteración y otra, mientras más alto el h o más iteraciones se hagan, el error será mucho mayor [10].

2. Análisis del problema

En torno a las actividades realizadas, el literal a) consistió en trabajar una ecuación diferencial del tipo Bernoulli, aplicando la reducción a una forma lineal.

                (1)[pic 6]

donde dp/dt es la derivada de la función p(t) que representa al crecimiento poblacional dependiente de la variable tiempo t.

        (2) [pic 7]

(3)[pic 8]

(4)[pic 9]

Por otro lado, en el inciso b), se analizó el comportamiento de la función (solución exacta) si p(t) = 0 y p(t) = 1, la función se halla indefinida dado que está acotada por dos asíntotas horizontales (p=0 v p=1)

Para el literal c), estudiando la ecuación (5), aparece la fórmula del Metodo de Euler, mientras que en Eq. (6), se plantea el método para hallar el primer término con una condición de valor inicial.

        (5)[pic 10]

;         (6)[pic 11][pic 12]

En las ecuaciones (7), (8) y (9), se presenta la resolución de la fórmula de Euler con los parámetros indicados anteriormente.

(7)[pic 13]

(13); (8)[pic 14][pic 15]

(9)[pic 16]

En cuanto a las actividades d), e), f) y g), ellas se desarrollaron con codificaciones en Python correspondientes a los métodos de Euler, Heun y de Runge-Kutta de 4to orden. Para el d) y e) se probó con cuatro distintos tamaños de paso (h=0.18,0.23,0.25,0.3) con el fin de corroborar el comportamiento indicado para las iteraciones en cada consigna. En su contraparte, en f) y g) se iteró con 6 diferentes tamaños de paso (h=0.18, 0.23, 0.25,0.3, 0.325, 0.35)

3. Simulación y resultados

La función p(t) obtenida en la ecuación (10) representa a la solución general de la ecuación diferencial (1). Junto a la condición presentada, se parte de un problema de valor inicial (PVI), obteniéndose:

 (10)[pic 17]

La ecuación (11), en este caso, es la solución particular exacta a Eq. (1) y es presentada en la Fig. 3. A partir de ella, es posible deducir que a valores cada vez mayores de t, es decir que t tienda hacia +∞, la función p(t) se aproxima más y más al valor de 1, convergiendo en el mismo. Además, los valores de t < 0 pueden despreciarse, pues t = 0 es el tiempo inicial para la cuantificación del crecimiento poblacional.

 (11)[pic 18]

Para el inciso b), en base al estudio del crecimiento logístico exactamente en p(t)=0 y p(t)=1, se obtuvieron los siguientes resultados:

      (12)[pic 19]

     (13)[pic 20]

Primero, en Eq. (12), se genera una indefinición al considerar p(t) = 0 haciendo que la expresión resultante diverja. Mientras que, al concebir que p(t) = 1 en Eq.(13), con la solución exacta en Eq. (11), la igualdad pierde sentido dado que 9 no es igual a 0.

Por último, en la Eq. (14), a través de inducción matemática, si en el caso inicial se obtuvo una estructura similar a la que se requería demostrar, puede generalizarse para otros valores

      (14)[pic 21]

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Figura 3. Gráfica en Geogebra de la solución particular p(t).

Como se previó en cada consigna del inciso d), el comportamiento de la función iterada en 40 ocasiones, mostrado en Fig. 4, indica que la misma converge en 1 cuando h=0.18

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Figura 4. Gráfica de soluciones exacta e iterada para h = 0.18 en método de Euler

Cuando se utiliza un tamaño de paso h=0.23, la Fig. 5 de la solución obtenida tras las iteraciones representa el fenómeno de duplicación de periodo, consistente en que la convergencia de la solución tiene transiciones o saltos entre dos valores específicos. Cabe acotar que para el caso en que h=0.25, la figura 6 representa una cuadruplicación del periodo inicial o una duplicación del periodo anterior pues las transiciones de convergencia se dan ahora entre 4 números definidos (1.23, 0.54, 1.16 y 0.70).

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Figura 5. Gráfica de soluciones exacta e iterada para h = 0.23 en método de Euler

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Figura 6. Gráfica de soluciones exacta e iterada para h = 0.25 en método de Euler

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Figura 7. Gráfica de soluciones exacta e iterada para h = 0.3 en método de Euler

A continuación, se presentan en la tabla 1, algunos valores de p(t) obtenidos con varios h tras utilizar el método de Euler, comparando con el p(t) exacto obtenido del PVI.

Tabla 1. Método de Euler con diferentes h y la solución exacta

No obstante, el método de Heun, mayormente conocido como Euler mejorado también presenta un comportamiento similar al de Euler cuando h=0.18, pues ambos convergen hacia 1 en la figura 8. Dicha convergencia a un único valor, mostrada en las figuras 9 y 10, también ocurre en h=0.23 (convergencia a 0.69) y en h=0.25 (convergencia a 0.60). Pese a ello, la duplicación del periodo no ocurre hasta llegar a h=0.3 pues, es allí donde se efectúan saltos o transiciones de convergencia entre dos números (0.67 y 0.33) en Fig.11.

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