Modelo Aleatorio De Crecimiento
jbladipp7324 de Junio de 2014
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Modelo aleatorio de crecimiento CCT biparamétrico
M. Alamar, V. Estruch, J. Pastor y A. Vidal
Departamento de Matemática Aplicada. Escuela Politécnica Superior de Gandía. Universidad Politécnica de Valencia.
Ctra. Nazaret-Oliva, s/n. E-46730 Gandía (Valencia), España. Correo electrónico: malamar@mat.upv.es
Recibido en julio de 2001. Aceptado en febrero de 2002.
RESUMEN
Se presenta un modelo matemático para simular el crecimiento de peces en peso. Este modelo
se basa en el propuesto por Cho (1992), el cual se fundamenta en un único parámetro: el
coeficiente de crecimiento térmico (CCT). La característica fundamental del nuevo modelo es la
consideración de otro parámetro más, el cual permite separar la influencia de la temperatura y
la de otros factores en el crecimiento de los peces. El modelo propuesto permite considerar la
temperatura y el peso inicial como variables aleatorias y se ha implementado en un programa de
ordenador utilizando el lenguaje del paquete matemático Matlab.
Palabras clave: Modelo matemático, coeficiente de crecimiento térmico, crecimiento de
peces.
ABSTRACT
Random two-parameter TGC growth model
A mathematical model to simulate fish growth is presented, based on the model proposed by Cho (1992),
which had only one parameter: the thermal growth coefficient (TGC). Our new model’s fundamental difference
is the consideration of a second parameter, which makes it possible to factor out the impact of temperature
and other factors on fish growth. The proposed model enables us to consider temperature and starting
weight as random variables, and has been implemented in a computer program using the Matlab mathematical
package.
Keywords: Mathematical model, coefficient of thermal growth, fish growth.
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Bol. Inst. Esp. Oceanogr. 18 (1-4). 2002: 7-14 BOLETÍN. INSTITUTO ESPAÑOL DE OCEANOGRAFÍA
ISSN: 0074-0195
© Instituto Español de Oceanografía, 2002
INTRODUCCIÓN
El crecimiento de los peces está determinado,
fundamentalmente, por la cantidad de alimento
ingerido y por la temperatura del agua. Los peces
son incapaces de regular su temperatura corporal,
por lo que su metabolismo únicamente se desarrolla
de forma óptima dentro de un rango de
temperaturas adecuadas, en el que la ingestión y
el crecimiento son máximos. El crecimiento disminuye
o se detiene cuando la temperatura está
por encima o por debajo del rango óptimo. En
cuanto a la cantidad de alimento, el crecimiento
será máximo con una alimentación a saciedad. En
las granjas marinas, debido a la imposibilidad de
utilizar comederos de autodemanda y a la dificultad
de determinar la saciedad de los peces, la alimentación
restringida es la opción más razonable.
La predicción del crecimiento de los peces resulta
imprescindible para establecer las necesidades nutritivas
y las tasas de alimentación de una forma
científica, pero, además, la determinación de la
curva de crecimiento de una especie, en unas condiciones
dadas, es fundamental para establecer
planes de producción en piscicultura intensiva
(Querellou, 1984).
Existe una extensa bibliografía sobre modelos
matemáticos para el crecimiento de peces. Una
buena aproximación al estudio del problema general
de ajustar el crecimiento de los peces a una curva
teórica y su interpretación biológica, con especial
referencia a la función de crecimiento de Von
Bertalanffy, puede encontrarse en el trabajo de
Moreau (1987). En Querellou (1984), se propone
un modelo de crecimiento para la lubina, Dicentrarchus
labrax Linnaeus, 1758, basado en la temperatura
del agua en la fase de engorde. En el trabajo
de Cho (1992) se propone una predicción del
crecimiento usando un índice denominado thermal
growth coefficient o coeficiente de crecimiento térmico
(CCT), que se define como
CCT
Pf
1
3
Pi
1
3
ºC día
donde Pf es el peso final, Pi el peso inicial y ºC día
es la suma de las temperaturas medias diarias en
grados centígrados. La ventaja de este modelo radica
en que, si se cumpliese que el valor de CCT es
constante e independiente del peso corporal, una
vez que se dispusiera de información basada en datos
reales de crecimiento en granja para una especie,
la predicción de la ganancia de peso en un periodo
dado sería posible usando la expresión
PiPi
1
3
CCT · ºC día3
El modelo es adecuado para el rango de temperaturas
normales propias de cada especie y resulta necesario
obtener valores reales de CCT para cada tipo
de procedencia de los peces, peso inicial, condiciones
de alimentación, manejo, etc. La predicción del
crecimiento se realiza en función de las temperaturas
medias del agua previstas en la zona, mientras
que para un ciclo de crecimiento en marcha la estimación
de los pesos se realiza considerando la suma
de temperaturas reales medidas en la instalación.
En este trabajo se presenta un modelo que generaliza
el propuesto por Cho (1992) y permite,
además, considerar la variabilidad de la temperatura
y del peso inicial.
DESARROLLO DEL MODELO
En el caso del cultivo intensivo de la lubina, el
crecimiento se interrumpe cuando la temperatura
es inferior a 10 ºC (Querellou, 1984). En la construcción
del modelo que se describe, que se utilizará
para realizar simulaciones de crecimiento
también con lubina, se supone que sólo existe
crecimiento diario si la temperatura media de dicho
día es mayor de 10 ºC. Para una serie continuada
de días t0, t01, ...,t0h, se considera el modelo
CCT, dado por
P(t0h)Pt0
1
3
CCT ·
h
i1
Ti3
donde P es el peso en gramos del pez y T es el máximo
entre cero y la temperatura media diaria, en
grados centígrados menos 10. Para simplificar, se
considera t0 0 y de esta forma resulta
PhP0
1
3
CCT ·
h
i1
Ti3
El modelo CCT planteado tiene un buen comportamiento
para unas condiciones estables de
temperatura controlada.
Sin embargo, en la realidad el coeficiente CCT
no es constante para una serie de días. Se ha estudiado
el valor de CCT para distintas etapas de crecimiento
de peces, sobre distintas muestras con
temperaturas diarias coincidentes, constatándose
que los valores de CCT van disminuyendo inicialmente
con el incremento inicial de la suma de temperaturas,
hasta estabilizarse en un valor aproximadamente
constante. Esta particularidad ha llevado
a plantear el posible ajuste del valor del CCT como
variable dependiente en función de la suma de
temperaturas, y se obtiene muy buena correlación
con el modelo biparamétrico siguiente
CCTta [1]
donde a y b son parámetros y
h
i1
Ti es la suma de
temperaturas medias diarias menos 10. Es fácil observar
que, al crecer la suma de temperaturas, el
coeficiente CCTt se acerca al valor de a.
Se ha realizado un estudio sobre datos reales de
crecimiento de lubina, alimentada con diferentes
piensos experimentales, en condiciones de laboratorio
(Zegrari, inédito). En la tabla I se representan
los valores obtenidos de las constantes a y b en
8 tanques de lubina, indicándose los pesos medios
iniciales en cada tanque, así como una distinción
b
h
i1
Ti
M. Alamar et al. Modelo aleatorio de crecimiento
8 Bol. Inst. Esp. Oceanogr. 18 (1-4). 2002: 7-14
entre piensos utilizados y los coeficientes de correlación
correspondientes.
Los resultados obtenidos llevan, de forma natural,
a una reinterpretación de CCT y, como consecuencia,
al desarrollo de un nuevo modelo. Si en la
expresión de Pt se sustituye CCTt por la expresión
[1] se obtendrá
PtP0
1
3
a ·
h
i1
Tib3
El modelo así obtenido es idéntico al inicial, salvo
en la aparición de una nueva constante, b. El parámetro
a es el coeficiente que determina directamente
el aumento de peso por influencia de la
temperatura del agua y se le denominará CCT*. La
constante b es un coeficiente corrector que determina
el aumento de peso de acuerdo con otros factores,
en principio indeterminados, y que será denominado
F. De esta forma, el modelo queda
PtP0
1
3
CCT* ·
h
i1
TiF3
[2]
El cálculo de las constantes CCT* (a) y F (b) se
puede realizar por el método
...