Gestion De Riesgo

Capítulo 9

Metodologías de medición

Del riesgo de mercado

Introducción

En el presente capítulo se expondrán las metodologías habituales en el cálculo de los factores

Que determinan el valor en riesgo y el capital en riesgo de una determinada posición.

El objetivo del cálculo es la obtención del mapa de riesgo de la posición, de manera que

Cada beneficio o pérdida posible tenga asignada una probabilidad de ocurrir. El mapa de riesgo

De la posición dependerá de los perfiles de riesgo de cada uno de los productos que la

Compongan y de la relación que exista entre los factores de riesgo que los definan.

Por tanto, será necesario determinar la función de probabilidad asociada a cada uno de

Los productos considerados y a cada una de las carteras que se pretenda analizar.

Para ello se podrán seguir dos enfoques diferentes, analítico y numérico, en función de

La situación que se pretenda analizar:

• El enfoque analítico se basa en la obtención de expresiones matemáticas que representan

La función de probabilidad del instrumento considerado. Ejemplo de este enfoque sería

El empleo directo de la matriz de covarianzas para el cálculo de las medidas de riesgo

En una cartera de acciones.

• El enfoque numérico, por su parte, se basa en técnicas de simulación de escenarios,

Obteniendo la función de probabilidad por muestreo. Ejemplo de este enfoque es la

Generación de simulaciones de Monte Cario para el análisis de carteras de derivados.

Mientras sea posible, el empleo del enfoque analítico ofrece, habitualmente, una mayor riqueza en el análisis y un menor volumen de cálculo, pero requiere un esfuerzo mayor en su

Desarrollo, obligando en ocasiones a la realización de hipótesis simplificadoras. Sin embargo,

Si los productos analizados presentan una complejidad especial o es necesario el empleo de

Modelos de comportamiento más sofisticados, no resolubles analíticamente, es entonces cuando

El enfoque numérico ofrece toda su potencia, a costa normalmente de un mayor volumen

De cálculo y una menor riqueza analítica. Por tanto, es necesario alcanzar un compromiso entre

Ambos, que vendrá dado por las características del entorno a analizar.

No obstante, para el enfoque analítico o para algunos métodos numéricos, es necesario

Definir previamente qué tipo de comportamiento seguirán los factores de riesgo que intervienen

En los resultados de la posición. En un caso será para definir la expresión de la función

De probabilidad y en el otro para modelizar la evolución de los factores en la simulación.

En los siguientes puntos se analizará el cálculo de las medidas de rentabilidad-riesgo

Definidas en el capítulo 3 según ambos enfoques. Así, en primer lugar se analizará de forma

Analítica el comportamiento y las medidas de riesgo asociadas a un activo, generalizándolo a

Continuación para el caso de una cartera y comparándolo posteriormente con los resultados obtenidos a través de un modelo numérico basado en simulaciones de Monte Cario y en

Simulaciones históricas.

Medidas de rentabilidad y riesgo

MEDIDAS DE RENTABILIDAD

El mapa de riesgo representa la probabilidad de que ocurra una determinada variación de valor

De una cartera en un periodo de tiempo fijado (T):

Esta variación de valor se obtendrá como la suma de las variaciones de valor de cada uno

De sus componentes. Por tanto, para determinar el mapa de riesgo se hace necesario modelizar

El comportamiento del valor de la cartera. Para ello se analizará el comportamiento de los

Precios de un activo y su efecto sobre la tasa de retorno anual y la tasa de retorno continua

Al ser la rentabilidad la variable relevante para un inversor.

Tasa de retorno anual

La tasa de retorno anual se definirá como la rentabilidad asociada al precio de un activo

Expresada en términos anuales. Por tanto,

Donde T es el periodo de tiempo considerado, expresado en años, P0 es el precio inicial del

Activo y PT es el precio del activo al final del periodo considerado.

Tasa de retorno continúa

La tasa de retorno continua se definirá como la rentabilidad anual asociada al precio del activo

Suponiendo que los retornos se reinvierten de manera instantánea y continua. Así,

Ejemplo

Supongamos un instrumento financiero que inicialmente tenía un valor de US $ 1 millón, y que

En el plazo de 23 días tiene un valor de mercado de 1,2 millones, lo que supone una variación

De valor de US$ 20.000 en 23 días (0,063 años). Por tanto,

COMPORTAMIENTO DEL VALOR DE UN ACTIVO

Según el modelo tradicional de comportamiento de los precios1 estos siguen una distribución

De probabilidades log normal, o lo que es lo mismo, el In VT se comporta como una variable

Aleatoria que sigue una distribución normal.

Por tanto, teniendo en cuenta que el retorno continuo se comporta como el logaritmo del

Valor, también seguirá una distribución normal, mientras que la variación en el valor del activo

Y la tasa de retorno anual se comportarán como una variable aleatoria lognormal.

Comportamiento de un activo

Si ahora consideramos una cartera, su variación de valor puede expresarse como la suma

De las variaciones de valor de cada uno de los instrumentos que la componen. Por tanto, en

Cualquiera de los casos, la variación de valor de una cartera se expresa como función de una

Suma de variables aleatorias, no independientes, que tienen un comportamiento lognormal.

Sin embargo, la suma de variables aleatorias log normales no independientes no sigue ninguna

Función de distribución conocida, lo que impide el cálculo de las medidas de riesgo de forma

Analítica, aunque no numérica. Por tanto, será necesario suponer alguna hipótesis adicional.

Hipótesis de rentabilidades normales

Como se ha indicado anteriormente, la variación de valor de una cartera quedaba expresada

Como una suma de variables log normales no independientes que no permitían construir una

Solución analítica cerrada.

1 De la teoría sobre el comportamiento de los precios de un activo [Huu., J., Options, Futures and Other Derivative

Securities, páginas 209-210] se deduce que

Donde JJL es la tasa de retorno esperada y a sería la volatilidad anual de la tasa de retorno continua. Teniendo en

Cuenta que:

Se cumpliría que:

Para poder llegar a una solución analítica cerrada se supondrá que la variación de valor

De cada uno de los instrumentos se comporta como una distribución normal con la misma

Desviación estándar que la tasa continúa de retorno.2

Esto quiere decir que se supondrá que la variación de valor de un activo y, en consecuencia,

El mismo valor del activo, se comportará como una distribución normal.

De esta forma, y teniendo en cuenta que la suma de variables aleatorias que siguen una

Distribución normal se comporta como normal, la rentabilidad de la cartera presentaría una

Distribución de probabilidades normal de parámetros conocidos.

Intervalo de confianza

Una vez conocida la distribución que rige la evolución de los precios ya sería posible calcular

Los puntos correspondientes a los distintos intervalos de confianza. Dada una distribución

Normal de media resperado y desviación estándar d, se tendrán los intervalos de confianza que se

Muestran a continuación.

Así, para un intervalo de confianza del 99,87% el menor retorno posible en un plazo T sería

Igual a:

Mientras que el mayor retorno posible, con el mismo nivel de confianza sería igual a:

VOLATILIDAD

Una vez analizado el modelo de comportamiento del precio de instrumento se hace necesaria

La estimación de la desviación típica (desviación estándar) que se introducirá en el modelo y

Que determinará el punto de máximas pérdidas para el intervalo de confianza fijado.

Introduciremos el concepto de volatilidad y el procedimiento para medirla en un periodo

Pasado. A continuación, se presentarán diferentes alternativas para la estimación de la volatilidad

Esperada, que será la que realmente determine el nivel de riesgo al que se encuentra

Expuesta la cartera.

Definición

La volatilidad del activo es la desviación típica o estándar de la rentabilidad del activo.

La volatilidad mide la desviación de los rendimientos posibles respecto al rendimiento

Esperado. Para evitar que desviaciones positivas compensen las negativas, se elevan al cuadrado

Todas las desviaciones, se suman y se calcula la raíz cuadrada. Así, si se conoce la probabilidad

p¡ de todos los posibles rendimientos yi que pueden darse en el futuro en un período determinado,

La volatilidad se calculará como:

Siendo:

• Y el rendimiento esperado

• N el número de posibles rendimientos

Así, si existiera sólo un conjunto limitado de resultados posibles y fueran igualmente

Probables se tendría

...