Interes Compuesto

El interés compuesto representa la acumulación de intereses devengados por un capital inicial (CI) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

Cálculo del interés compuesto

Para un período de tiempo determinado, el capital final (CF) se calcula mediante la fórmula

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período

Repitiendo esto para un tercer período

y generalizando a n los períodos, se obtiene la fórmula de interés compuesto:

donde:

es el capital al final del enésimo período

es el capital inicial

es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

es el número de períodos

Para hacer cálculos continuos en el tiempo en lugar de calcular cantidades para finales de períodos puede usarse la tasa de interés instantánea , así el capital final actualizado al tiempo t viene dado por:

El resto de tasas pueden calcularse sin problemas a partir de la tasa de interés instantánea.

Obtención de los elementos de la fórmula de interés compuesto

De la ecuación del interés compuesto, para n períodos, se obtiene el capital inicial, conocidos el capital final, el interés y el número de períodos:

El número de períodos puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el interés, despejando n en la última fórmula, obtiéndose:

El interés puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el número de períodos, despejándolo de esa misma fórmula:

,

La diferencia esencial entre la capitalización compuesta y la simple reside en la acumulación o no de los intereses para producir con ellos nuevos intereses. En la práctica habitual se empleará la Capitalización Simple para operaciones a “corto plazo” (menores o iguales a un año) y la Compuesta en operaciones a “largo” o cuya duración exceda del año.

Definición Capitalización Compuesta

Régimen de Capitalización Compuesta o del Interés compuesto. Se conoce como tal al proceso mediante el cual los intereses se acumulan al capital para producir conjuntamente nuevos intereses al final de cada periodo de tiempo. Así sucesivamente, tiene lugar la capitalización periódica de los intereses. Esto en la práctica se traduce por ejemplo en el acuerdo entre las partes para que al final de cada período los intereses producidos por un préstamo en lugar de liquidarse al prestamista se incorporen al capital para que la suma de ambos produzca intereses en el período siguiente.

Seguiría el siguiente esquema:

Capital al final de un periodo: Capital al inicio + Intereses generados en ese periodo

Recibe el nombre de Capitalización compuesta la operación de prestación múltiple y contraprestación única con vencimiento posterior. La operación de constitución tiene por objeto la formación o constitución de un capital mediante la realización de un plan de ahorro de un plan de inversión.

Elementos fundamentales para el cálculo de la Capitalización Compuesta:

C0 = Capital inicial

n = número de períodos (años generalmente) que dura la operación.

i = Tipo de interés anual, rendimiento por cada peseta invertida en un periodo.

I = Interés total, suma de los intereses de cada año o de cada período.

Cn = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses.

Cálculo del Capital final

a. Operación de constitución de prestación y contraprestación única.

El capital final es la suma del capital inicial más los intereses generados durante el periodo de vida de la operación financiera.

Es decir, estamos calculando el capital final Cn, sobre un capital inicial C0 a un tipo de interés anual "i" para "n" períodos.

• Capital al final del primer año: C1 = C0 + ( C0• i ) = C0 ( 1 + i )

• Capital al final del segundo año: C2 = C1 + (C1• i ) = C1•( 1+i ) = C0•( 1+i )•(1+i ) = C0•( 1+i)2

• Capital al final del tercer año: C3 = C2 + (C2• i ) = C2•( 1+i ) = C0•(1+i )2•( 1+i ) = C0•(1+i)3

• De este modo, al final de n años el capital final será:

Cn = C0 ( 1 + i )n

b. Operación de constitución de prestaciones múltiples y contraprestación única.

El capital final será la suma de todos los términos invertido con los intereses generados por cada término. Estamos calculando el capital final formado por los términos que invertimos a un tipo de interés anual "i" durante "n" períodos.

• Capital creado hasta 1: C1=a1

• Capital creado hasta 2: C2= C1(1+i)+a2 =a2(1+i)+a3

• Capital creado hasta 3: C3= a1(1+i)2+a2(1+i)+a3

• De este modo, en el periodo n el capital final será:

Cn=a1(1+i)n-1+a2(1+i)n-2+....+an-1(1+i)+an

4.3.- Cálculo de los intereses

a. En el caso de prestación y contraprestación únicas:

Ya hemos visto en varias ocasiones que el capital final es la suma del capital inicial más los intereses de manera quesi despejamos el interés total I tendremos

Cn=C0+ I; I = Cn- C0

Y como hemos visto en el anteriormente Cn = C0 ( 1 + i )n ;

sustituimos: I = C0 ( 1 + i )n - C0 , sacando C0 factor común nos quedaría:

I = C0 [ ( 1 + i )n - 1 ]

Ejemplo:

Los intereses producidos por un capital de 1.000.000 de euros durante diez años al 4.5% anual de interés compuesto serán

I = 1.000.000 [ ( 1 + 4.5% )10 – 1 ]

b. En el caso de una constitución de n términos:

I=a1•in-1+a2•in-2+......+an-1•i+an

4.4.- Cálculo del capital inicial

El cálculo del capital inicial es para el caso de prestación y contraprestación únicas.

Despejando el capital inicial C0 en la fórmula ya vista Cn = C0 (1 + i )n nos queda lo siguiente:

C0 = Cn / ( 1 + i )n= Cn•( 1 + i )-n

Por otro lado también sabemos que Cn= C0 + I por lo que si despejamos el valor del capital inicial C0 nos queda:

C0= Cn - I

Ejemplo:

Sea un Capital final de 1.000.000 de euros; ¿cuál fue el Capital Inicial que lo produjo invertido al 8 por ciento durante diez años?

C0= 1.000.000 / ( 1 + 8%)10

4.5.- Cálculo del tipo de interés

Recurriremos de nuevo a la fórmula de partida Cn = C0 ( 1 + i )n . En esta ocasión

despejaremos el tanto de interés por lo que tenderemos que: Cn / C0 = ( 1 + i )n

Si continuamos despejando:

Ejemplo:

A qué tipo de interés fue invertido un capital de 500.000 euros para convertirse en 625.000 al cabo de cinco años.

i = ( 625.000 / 500.000 )1/5 - 1

4.6.- Cálculo del Periodo de tiempo

Se trata pues en esta ocasión de despejar "n" en nuestra útil fórmula Cn = C0 ( 1 + i )n, tendremos por lo tanto:

Cn / C0 = ( i + 1 )n

Tomamos logaritmos para despejar la incógnita ya que está en la potencia:

log (Cn / C0) = log ( 1 + i)n

Si continuamos despejando:

n= [log Cn - log C0] /log (1+i)

Aplicaciones de Interés Compuesto

Depósitos a término fijo

La inflación

La devaluación

Tasas combinadas

Tasa deflactada o tasa real

Son múltiples las aplicaciones que tiene la formulación de interés compuesto; con el fin de ilustrar el tema en este capitulo examinaremos algunas de ellas.

Aplicaciones de Interés Compuesto

Depósitos a término Fijo

Tasa de Captación (Pasiva): tasa de interés que reconoce el sector financiero a los inversionistas. Tasa de Colocación (Activa): Tasa de interés que cobra el sector financiero por prestar el dinero. Margen de intermediación: diferencia entre la Tasa de colocación y la tasa de captación.

En la operación de Depósitos a término fijo es necesario tener en cuenta que la ganancia por concepto de intereses es gravada con un impuesto que se cobra al momento que se hace el pago y se denomina retención en la fuente.

Ejemplo 1

Una persona invierte $600´000.000 en un depósito a término fijo a 6 meses, si el banco garantiza una tasa del 24% NM, determine el valor que recibirá al final si el impuesto es del 7% sobre utilidades.

Valor antes de Impuesto = 600(1+0,024)6 = $675,697Intereses = S-P = $75,697 millones Impuesto (Retención) = 75,697 x 0,07 = 5,299Recibido = 675,683 – 5,299 = $670,398 millones.

Ejemplo 2

Una persona invierte $600´000.000 en un depósito a término fijo a 6 meses, si el banco garantiza una tasa del 24% NM, si el impuesto es del 7% sobre utilidades; cual es la verdadera rentabilidad en Interés Efectivo Mensual.

Aplicando: S = P ( 1 + i)n670,398 = 600 (1+i)6i = 1.86% EM En Interés Efectivo Anual: 670,398 = 600 (1+i)1/2i = 24.84% .

Inflación - Deflación

La inflación es el proceso económico por el cual se presenta un aumento general de precios (IPC – Índice Precios al Consumidor-)El proceso económico contrario disminución general de precios se denomina deflación En el sector de la producción la inflación toma el

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