Limites laterales

[pic 1][pic 2]

Limites laterales

NOMBRE: Rayen Arevalo Geywitz

CARRERA: Ingeniería en administración de empresas

ASIGNATURA: Calculo diferencial

PROFESOR: Cecilia Guerra Oporto

FECHA: 20-06-2022

Índice

Limites laterales        1

Introducción        3

Reseña        4

Ejemplo 1        5

Teorema        6

Ejemplo 2        6

Ejemplo 3        6

Ejemplo 4        7

Ejemplo 5        8

Teorema        8

Conclusión        9

Bibliografía        10

Introducción

El cálculo de límites es una parte fundamental del cálculo diferencial e integral y la base para muchos conocimientos posteriores. Su importancia es tal que, el concepto de derivada se basa en un límite por dar un ejemplo. Además, para estudiar la propiedad de continuidad para las funciones es fundamental el límite.

Además de comprender el concepto de límites, su definición y algunos ejemplos, estudiaremos los límites laterales (one-sided limits, en inglés), también llamados límites por la izquierda y por la derecha, y como estos se relacionan con los límites que conocemos (two-sided limits). Veremos que la existencia de unos implica la del otro y viceversa.

Los límites laterales tienen mayor relevancia cuando tenemos funciones con saltos o definidas por tramos. Dentro de estas funciones mencionadas veremos que si nos acercamos a x=a tomando valores por su izquierda o tomando valores por su derecha podemos tener valores iguales o distintos lo que condicionará la existencia del límite en el sentido que conocemos.

Reseña

Antes de estudiar los límites laterales conviene recordar el concepto de límite de una función.

Intuitivamente, una función  tiende a  cuando  tiende  (o que el límite de  en  es ) si la función toma valores cada vez más próximos a  cuando  se aproxima al punto . Se denota por  Formalmente, el límite de  es  cuando  si,[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

A diferencia de los límites comunes que estudiamos, los límites laterales nos acercamos al punto en cuestión por la derecha y por la izquierda tal como se ilustra en la siguiente figura.

[pic 18]

Figura: Concepto de límites laterales de  cuando .[pic 19][pic 20]

Así, podemos entender los límites laterales de la siguiente manera.

El límite de f(x) por la izquierda de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su izquierda. Se denota por [pic 21]

Formalmente, decimos que L es el límite por la izquierda de  en , y escribimos,  si,[pic 22][pic 23][pic 24]

[pic 25]

Análogamente, el límite de f(x) por la derecha de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su derecha. Se denota por  Formalmente, decimos que L es el límite por la derecha de  en , y escribimos,  si,[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

[pic 30]

Por supuesto, un límite (lateral o no) no necesariamente existe. Hay que tener en cuenta lo siguiente: La existencia del límite de una función  cuando  tiende a  no depende de si  está definida en  sino que esté definida para  en la vecindad de .[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

Veamos un ejemplo de lo anterior.

Ejemplo 1: Sea  la siguiente función[pic 38]

[pic 39]

Entonces , pero sin embargo [pic 40][pic 41]

[pic 42]

Figura: Si  está definida o no en  no influye en la existencia del límite de  cuando [pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

En general, el límite  no existirá si ocurre cualquiera de las dos siguientes situaciones:[pic 47]

• Si uno de los dos límites laterales  o no existe.[pic 48][pic 49]
• Si  y , pero  Es decir, los límites laterales existen, pero tienen un valor distinto.[pic 50][pic 51][pic 52]

Los resultados y discusión anterior lo podemos resumir en el siguiente teorema:

Teorema

La función  tiende a  cuando  tiende a  si, y solo si, los límites laterales cuando  tiende a  ambos dan como resultado , es decir,[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]

[pic 60]

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2: Sea  la función definida por[pic 61]

[pic 62]

Estudiemos la existencia de . Para esto, veamos qué ocurre con los límites laterales.[pic 63]

...