Maestría en Finanzas Instrumentos Financieros Derivados

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANÍSTICAS

Maestría en Finanzas

Instrumentos Financieros Derivados

Árboles Binomiales en Derivados

Presentado por:

• Shirley Arteaga Colt
• Wendy Morán Carvajal
• Alexis San Lucas Pérez
• Kerly Veloz Arboleda

Guayaquil, 2018

Contenido

ÁRBOLES BINOMIALES EN DERIVADOS        3

MODELO BINOMIAL PARA UNA ACCIÓN QUE NO PAGA DIVIDENDOS        3

Valuación neutral al riesgo        4

Retroceso a lo largo del Árbol        5

Ejemplo 1. Árbol para una opción sobre una acción que no paga dividendos        5

USO DEL ÁRBOL BINOMIAL PARA OPCIONES SOBRE ÍNDICES, DIVISAS Y CONTRATOS A FUTURO        7

Ejemplo 2. Árbol para una opción sobre futuros de índices        8

Ejemplo 3. Árbol para una opción sobre divisas        9

EL MODELO BINOMIAL PARA UNA ACCIÓN QUE PAGA DIVIDENDOS        10

Rendimiento por dividendos conocido        10

Dividendos en dólares conocidos        12

Ejemplo 4. Árbol para una opción sobre una acción que paga dividendos        13

ÁRBOLES BINOMIALES EN DERIVADOS

En el ámbito financiero las opciones se utilizan para proteger a los compradores de acciones, índices bursátiles, divisas y contratos a futuro, para lo cual es importante diferenciar los siguientes conceptos:

Precio de la acción (S0). - es el precio al que se encuentra en el mercado una acción hoy.

Precio de ejercicio (K). - es el precio pactado de compra de acciones en una fecha futura.

Precio futuro de la opción (ST). - es el precio incierto de la opción en una fecha futura.      

Los árboles binomiales se usan para valuar opciones estadounidenses, por lo que se explicará cómo se emplea dicha metodología en algunos activos subyacentes, como las acciones que pagan dividendos.

MODELO BINOMIAL PARA UNA ACCIÓN QUE NO PAGA DIVIDENDOS

El método de árboles binomiales para la administración de opciones estadounidenses fue propuesto por COX, Ross y Rubinstein. Considerando la evaluación de una opción sobre una acción que no paga dividendos, se divide la vida de la opción entre un gran número de intervalos de tiempo con duración Δt. Suponiendo que, para cada intervalo, el precio de la acción se desplaza de su valor inicial S a uno de los dos nuevos valores, Su y Sd. Este modelo se muestra en la Ilustración 1, donde el desplazamiento de S a Su es un movimiento “ascendente” y se denota la probabilidad con p, así mismo el desplazamiento de S a Sd es un movimiento “descendente” y la probabilidad de ocurrencia será 1 - p.

[pic 2]

Ilustración 1Movimientos en el precio de las acciones en el tiempo Δt de acuerdo con el modelo binomial

Valuación neutral al riesgo

Es importante conocer que el principio de valuación neutral al riesgo afirma que cualquier valor dependiente del precio de una acción puede ser valuado bajo el supuesto de que el mundo es neutral al riesgo, se asume que los valores negociados tienen un rendimiento esperado igual a la tasa de interés libre de riesgo, y que los flujos futuros de efectivo se pueden calcular descontando sus valores esperados a la tasa de interés libre de riesgo.

El árbol binomial sirve para mostrar el comportamiento del precio de una acción en un mundo neutral al riesgo. Los parámetros p, u y d deben proporcionar valores precisos para la media y varianza del rendimiento del precio de una acción durante un intervalo Δt en dicho mundo. El rendimiento esperado de una acción es la tasa de interés libre de riesgo, r. De modo que, el valor esperado del precio de la acción al final del intervalo Δt  es  , donde S es el precio de la acción al principio del intervalo. Por lo tanto, para que exista correspondencia entre la media del rendimiento del precio de la acción y el árbol, se requiere:    (E1)  o [pic 3][pic 4]

   (E2)[pic 5]

Además, se define R como el cambio proporcional en el precio del activo en el tiempo Δt, por lo que la varianza de 1+R  es    (E3)[pic 6]

Partiendo de la condición  , cuando Δt es pequeña, las ecuaciones E2, E3 y esta ecuación se satisfacen con:    (E4),   (E5),  (E6), ; a denominada factor de crecimiento.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

De manera general, en la ilustración 2 se puede apreciar un árbol para los precios de una acción con cuatro intervalos de tiempo. En el momento cero el precio de la acción S0, es conocido. En el tiempo Δt se tiene dos probables precios para las acciones, estos son S0u y S0d; en el tiempo 2Δt se tiene tres probables precios para las acciones, estos son S0u2, S0 y S0d2, y así sucesivamente. Por consiguiente, en el tiempo i Δt se consideran i+1 precios de acciones.

[pic 12]

Ilustración 2 Árbol utilizado para valorar una opción sobre acciones

Se puede notar, que solo cuando se da un movimiento ascendente seguido de un movimiento descendente, se obtiene el precio inicial de la acción, lo cual no sucede en sentido contrario.

Retroceso a lo largo del Árbol

Las opciones se analizan empezando por la parte final del árbol (tiempo T) y desplazándose hacia atrás, por lo que el valor de la opción se conoce en el momento T.

Ejemplo 1. Árbol para una opción sobre una acción que no paga dividendos

A manera de ilustración, se considera una opción de venta estadounidense sobre una acción que no paga dividendos cuando el precio de la acción es de $50, el precio de ejercicio es de $50, la tasa de interés libre de riesgo es 10% anual, el período de vida es de cinco meses y la volatilidad es de 40% anual; es decir:. Se divide la vida de la opción en cinco intervalos de duración de un mes con el objeto de construir el árbol binomial. De modo que,  y, calculando las ecuaciones (E4) a (E7) se tiene que:[pic 13][pic 14]

 = 1.1224,  = 0.8909, [pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

Usando la herramienta DerivaGem, se obtiene el árbol binomial donde el número superior es el precio de la acción y el número inferior es el valor de la opción en el nodo. La probabilidad de un movimiento ascendente siempre será 0.5073 y la probabilidad de un movimiento descendente es 0.4927.

Para calcular el precio de la acción en el j-ésimo nodo en el tiempo i  se calcula como S0ujdi-j (j=0,1,….i) por ejemplo el precio del nodo A (i=4, j=1) es de [pic 19][pic 20]

Como se puede observar en la ilustración 3, los precios de la opción al final de los nodos se calculan como , por ejemplo, el precio de la opción en el nodo G es de . Para los penúltimos nodos los precios de la opción se calculan a partir de los precios de la opción en los nodos finales. El valor de la opción se calcula como el valor presente del precio esperado de la opción un intervalo de tiempo después. En el nodo E el precio de la opción es  , mientras que en el nodo A es .[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

De esta manera se puede verificar si el ejercicio anticipado es preferible o si se debe esperar. En el nodo E el ejercicio anticipado proporcionaría un valor de cero para la opción, puesto que tanto el precio de la acción como el precio del ejercicio son de $50. Es evidente que la mejor alternativa es esperar. Sin embargo, en el nodo E el valor correcto de la opción es $2.66. Para el nodo A         La situación es diferente, si la opción se ejerce, vale , lo cual es superior a $9.90. De alcanzarse el nodo A, la opción debería ejercerse con un valor correcto para la opción de $10.31.[pic 25]

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