Matematicas Financieras

Clase 2: Matemáticas financieras

Resumen Ejecutivo

Las matemáticas financieras son el fundamento para la toma de decisiones financieras y utilizarán el capital, el tiempo y la tasa de interés para sus cálculos. El tipo de interés se divide en interés simple y compuesto, siendo las leyes financieras fundamentales la capitalización, el descuento y la actualización

Objetivos

El objetivo de esta clase es saber qué son y cómo se calculan el tipo de interés simple y compuesto, así como aprender a realizar los cálculos básicos de las matemáticas financieras, como son la actualización y el descuento.

Introducción

Las matemáticas financieras son el fundamento para la toma de las decisiones financieras que afectan a nuestra empresa, en particular, y a nuestra vida, en general, y tendrá como base el dinero.

El propósito de las matemáticas financieras será, por tanto, el análisis del dinero en el tiempo. Para ello son imprescindibles tres variables: capital, tiempo y tasa de interés. Partiendo de ellas podremos establecer la relación entre una suma de dinero actual (valor actual o VA) y una suma de dinero futura (valor futuro o VF). Este análisis, que empleará los métodos que veremos posteriormente, nos servirá de apoyo para tomar decisiones de inversión, de tal forma que nos permitirá saber si, desde el punto de vista financiero, el invertir cierta suma de dinero, durante un determinado periodo de tiempo compensa la indisponibilidad de dicho capital.

Por ejemplo, ¿preferiríamos cobrar hoy 10.000 u.m. (unidades monetarias) o mejor 10.500 dentro de 6 meses? Indiscutiblemente, si necesitamos el dinero hoy para la adquisición de algún bien, preferiríamos cobrar hoy esos 10.000 u.m. Sin embargo, si no necesitamos el dinero inmediatamente, quizá nos compense no disponer de dicha cantidad ahora y recibir 10.500 u.m. en 6 meses.

Obviamente, la situación anterior es muy simple, ya que tendríamos que calcular el tipo de interés y el efecto de la inflación, ya que como todos sabemos, el dinero hoy vale menos que el dinero mañana, o dicho de otra forma, 100 u.m. hoy valen menos que 100 u.m. dentro de un año, puesto que el valor del dinero se deprecia con el paso del tiempo. El motivo es muy sencillo, 1 euro de hoy podría estar invertido un año, por lo que dentro de un año ese euro será equivalente a 1 euro y pico. Por tanto, recibir 100 u.m. hoy no valdrá lo mismo que recibirlos dentro de un año.

Para que ambas cantidades sean equivalentes, es decir, que nos diera lo mismo (en términos de valor monetario) recibirlo hoy que dentro de un año, habría que calcular el interés que dejaríamos de ganar. Si el tipo de interés del dinero es del 2% (y sin tener en cuenta la inflación) para que ambas sumas sean equivalentes deberían proponernos recibir hoy 100 u.m. ó 102 u.m. dentro de un año.

El concepto de “equivalencia” es muy importante en las matemáticas financieras, y no así el concepto de “igualdad”. Es decir, no hay capitales iguales, sino capitales equivalentes. Dos capitales serán, por tanto, equivalentes cuando sea indiferente recibir uno o el otro. En el ejemplo anterior, tenemos que 100 y 102 no son cantidades iguales, pero sí son equivalentes, puesto que sería lo mismo recibir 100 u.m. ahora que 102 dentro de un año.

Siguiendo con esta línea, nos encontramos con el principio de equivalencia, por el cual dos capitales diferentes (C1 y C2) situados ambos en momentos diferentes (n1 y n2) serán equivalentes si al compararlos en un mismo momento ambos capitales tienen el mismo valor.

Las matemáticas financieras nos van a permitir comparar dos sumas de dinero distintas en cantidad y en momento y trasladarlas a un mismo momento, de tal forma que podamos analizar si dichas sumas son equivalentes o no, y para ello contaremos con los importes monetarios, el tiempo y el tipo de interés.

Introducción al tipo de interés

El tipo de interés es el precio que se paga por obtener financiación durante un periodo de tiempo, o la rentabilidad que se obtiene por prestar dinero, dependiendo de en qué lado de la operación nos encontremos:

- Para el prestamista será la rentabilidad que obtendrá por la inmovilización de su dinero.

- Para el prestatario será el coste de la operación.

El tipo de interés de cualquier operación hace referencia a un capital determinado y a un plazo de tiempo concreto. Se expresa en porcentaje y, normalmente, siempre hace referencia a un plazo de 1 año.

El tipo de interés se divide en dos categorías principales:

- Interés simple

- Interés compuesto.

La principal diferencias entre estos dos conceptos radica en qué hacemos con los intereses generados. Si utilizamos el interés simple, los intereses que se vayan generando durante la duración de la inversión no son reinvertidos, es decir, se abonan al inversor. Por el contrario, en el interés compuesto los intereses generados se van sumando al capital invertido, de tal forma, que dichos intereses también generarán intereses.

Interés simple

Las operaciones financieras a tipo de interés simple son aquellas en las cuales los rendimientos o intereses obtenidos al final de cada período de inversión no son reinvertidos, con lo que el capital invertido siempre será igual al capital inicial. Por ejemplo, si tenemos una inversión de 1.000 u.m. a 5 años que genera un interés simple anual del 3%, al final de cada año, recibiremos el 30 u.m. y para el año siguiente la cantidad invertida sigue siendo de 1.000 u.m., con lo que al final del segundo año, volveremos a recibir 30 u.m. en concepto de intereses.

Gráficamente, nuestro capital total (inicial + intereses) seguirá una tendencia lineal, ya que los intereses son constantes (i1 = i2 = i3 = in) y el capital siempre es el mismo:

Al ser el capital siempre el mismo para cada periodo, el interés total de cada periodo será el mismo, es decir, los intereses (I) serán iguales al capital inicial por el tipo de interés:

I = C0 • i

Por lo tanto, los cálculos serían:

Para n = 1:

- Intereses: I = C0 • i

- Capital final: Será la suma del capital inicial más los intereses, esto es, C0 + I, por tanto: C1 = C0 + (C0 • i) = C0 • (1 + i)

Para n = 2:

- Intereses: I = C0 • i

- Capital final: C2 = C0 + (C0 • i) + (C0 • i) = C0 • (1 + i • 2)

Para n = 3:

- Intereses: I = C0 • i

- Capital final: C3 = C0 + (C0 • i) + (C0 • i) + (C0 • i) = C0 • (1 + i • 3)

Para cualquier periodo n:

- Intereses: I = C0 • i

- Capital final: Cn = C0 + (C0 • i) + (C0 • i) +... + (C0 • i) = C0 • (1 + i • n)

La fórmula del interés simple es:

- Cn = C0 • (1 + i • n)

Donde,

- Cn es el capital final (importe que se recibirá en total).

- C0 es el capital invertido (capital inicial).

- i es la tasa de interés.

- n es el número de periodos en los que se invierte el capital.

Obviamente, el tiempo y el tanto de interés deben estar referidos a la misma unidad de tiempo, es decir, si aplicamos un tipo de interés anual, el número de periodos ha de ser anual. Por tanto, si la inversión fuera semestral (es decir, los intereses se generan cada seis meses), el tipo de interés a aplicar deberá ser semestral. Por ejemplo, si tenemos una inversión al 6% anual que paga los intereses semestralmente, el tipo de interés a aplicar para calcular los intereses que obtendremos a los seis meses será del 3%.

El interés simple suele utilizarse en operaciones a corto plazo, por lo que con frecuencia la duración de la operación viene dada en días. En este caso habrá que utilizar fracciones del año:

n=y/365 ó n=y/360

Según se utilice el año natural o el comercial. En la práctica, es éste último el que se toma como referencia de cálculo.

En este caso, el capital final vendría dado por la fórmula siguiente:

Cn = C0 • (1 + i • (y/360))

Ejemplo: Invertimos 25.000 u.m. en un depósito a tipo fijo, con un interés simple anual del 3% y que nos pagará los intereses al finalizar cada año. La duración de la inversión es de 5 años. ¿Cuál es el capital final de la inversión?

Cn = 25.000 • (1 + 0,03 • 5) = 28.750 u.m.

Si lo desglosamos por año tenemos que cada uno de los 5 años nuestra inversión nos genera 750 u.m. en concepto de intereses, por lo que al finalizar el plazo de la inversión hemos obtenidos 3.750 u.m. en intereses, más la devolución de los 25.000 u.m.

Podemos deducir, por tanto, que si lo que queremos calcular son exclusivamente los intereses que la inversión generará a lo largo de los n periodos simplemente tenemos que calcular:

I = C0 • i • n

I = 25.000 • 3% • 5 = 3.750,00 u.m.

Interés compuesto

En las operaciones financieras a tipo de interés compuesto, los intereses generados durante cada período se acumulan al capital inicial, con lo que para cada periodo la cantidad invertida será igual al capital inicial del período anterior más los intereses generados.

En este caso, el inversor (al finalizar cada período) no recibirá nada en concepto de intereses, ya que en el interés compuesto los intereses generados se incorporan al capital invertido para el siguiente período, de tal forma que si la inversión inicial es de 25.000 u.m. y los intereses generados son de 750 u.m., el capital para el segundo periodo

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