Valor presente e intereses

Universidad Simón Bolívar

Postgrado en Gerencia

Especialización en Gerencia financiera

Matemáticas Financieras

Tema 1: Valor presente e intereses

Semana 1:

a.- Contabilización de fechas: calendario astronómico / calendario comercial

b.- Tasa de interés simple: valor presente, valor futuro, tiempo e intereses..

Semana 2:

c.- Tasa de interés compuesta: capitalización, valor presente, valor futuro, tiempo e intereses.

d.- Perpetuidades, cálculo de perpetuidades en base a la fórmula de interés compuesta.

Semana 3:

e.- Fórmula de anualidades en base a la fórmula de perpetuidades.

f.- Tablas de amortización

Semana 4

g.- Valoración de instrumentos financieros, bonos y acciones.

Semana 5: Parcial

Tema 2: Riesgo

Semana 6:

a.- Riesgo y comportamiento de las acciones, determinación de varianzas y covarianzas

Semana 7:

b.- Cálculo del rendimiento esperado de una acción en base a su riesgo, modelo CAPM

Semana 8:

c.- Correlación y diseño de portafolios

Semana 9: Trabajos y exposiciones

Tema 3: Opciones

Semana 10:

a.- Definición de opciones calls y puts,

b.- Valoración de mercado

Semana 11:

c.- Determinación del valor de opciones mediante el modelo binomial

d.- Determinación del valor de opciones mediante el método Black -Scholes

Semana 12: Trabajos y exposiciones

Evaluación: Primer parcial 40 %, trabajos-exposiciones 30 % c/u

Bibliografía: Shim Y Siegel: Dirección financiera, Segunda edición. Caps. 6,7 y 16

Hernández, Hernández: Matemáticas financieras, teoría y práctica.

http://biz.yahoo.com/opt/basics1.html

http://biz.yahoo.com/opt/basics2.html

http://biz.yahoo.com/opt/basics3.html

http://biz.yahoo.com/opt/basics4.html

http://biz.yahoo.com/opt/basics5.html

Formulario y teoría:

Tema 1:

a.- Fechas : En un instrumento financiero, la contabilización de fechas puede hacerse de dos formas:

Calendario astronómico: En ese caso, los días se contabilizan en función a la diferencia entre dos fechas, es decir, el periodo transcurrido entre el inicio y el fin del instrumento.

Calendario comercial: En el calendario comercial el año posee 360 días y los meses tienen 30 días cada uno, la contabilización de días se hace restando primero los meses y luego los días:

Ejemplo: del 15 de Enero de 2006 al 28 de Octubre de 2006:

Calendario astronómico:

Enero: 16

Febrero: 28

Marzo: 31

Abril: 30

Mayo: 31

Junio: 30

Julio: 31

Agosto: 31

Septiembre: 30

Octubre: 28

Total: 286 días (el mismo resultado de restar ambas fechas en una hoja de cálculo)

Calendario comercial:

Enero: 15

Febrero: 30

Marzo: 30

Abril: 30

Mayo: 30

Junio: 30

Julio: 30

Agosto: 30

Septiembre: 30

Octubre: 28

Total: 283 días (recuerden, el año tiene solamente 360 días y no 365)

Otro ejemplo (Si el día de finiquito de la operación es inferior al día de inicio) del 27 de Febrero de 2006 al 12 de Agosto de 2006.

Calendario astronómico:

Febrero: 1

Marzo: 31

Abril: 30

Mayo: 31

Junio: 30

Julio: 31

Agosto: 12

Total: 166 días (el mismo resultado de restar ambas fechas en una hoja de cálculo)

Calendario comercial:

Febrero: 3

Marzo: 30

Abril: 30

Mayo: 30

Junio: 30

Julio: 30

Agosto: 12

Total: 165 días (recuerden, el año tiene solamente 360 días y no 365)

b.- Tasa de interés simple:

VP = C / (1 + r x n)

VP: Valor presente

C: Valor futuro o flujo de caja final

r: Tasa de interés (En función al periodo de tiempo)

n: Tiempo (Periodos de tiempo)

C = VP x (1 + r x n)

r = (C / VP – 1) / n

n = (C / VP – 1 )/ r

Interés devengado = C – VP

Ejemplos:

Depositamos Bs. 1.100.000 a 6 meses con una tasa de interés anual simple del 30 %, ¿Cuánto dinero tenemos al final?

VP = 1.100.000

r = 30 % = 0,3

n = 6 / 12 = 0,5

C = VP x (1 + r x n) = 1.100.000 x (1 + 0,5 x 0,3) = 1.265.000

Cuánto dinero hubiésemos tenido que depositar a una tasa del 25 % anual durante 9 meses para obtener un saldo final de Bs. 8.000.000

C = 8.000.000

r = 25 % = 0.25

n = 9 meses = 9 /12 años = 0,75 años

VP = C / (1 + r x n) = 8.000.000 /( 1 + 0,25 x 0,75) = 6.736.842,11

A qué plazo deben ser depositados 5 millones de bolívares al 36 % anual para obtener Bs. 5.900.000

VP = 5.000.000

C = 5.900.000

r = 36 % = 0,36

n = (VP / C – 1 )/ r

n = (5.900.000 / 5.000.000 – 1)/ 0.36

n = 0,5 años = 6 meses

A qué tasa debe efectuarse un depósito de Bs. 2.000.000 a 3 meses para que se obtenga un saldo final de Bs. 2.400.000

VP = 2.000.000

C = 2.400.000

n = 3 meses = 3 / 12 = 0,25 años

r = (VP / C – 1) / n

r = (2.400.000 / 2.000.000 –1) / 0,25

r = 0,8 = 80 %

Indique el monto final de un depósito de Bs. 3.000.000 a efectuarse el día 18 de Enero de un año no bisiesto hasta el 14 de Agosto del mismo año, la tasa es del 25 % anual, utilice ambas alternativas para contabilizar los días y explique la diferencia: (*)n = días / base

Calendario astronómico

VP = 3.000.000

n = (13+28+31+30+31+30+31+14)/365 = 208/365

r = 25 % = 0,25

C = VP x (1 + r x n)

C = 3.000.000 x (1 + 0,25 x 208 / 365) = 3.427.397,26

Calendario comercial

VP = 3.000.000 n = (12+30*6+14)/360 = 206/360

r = 25 % = 0,25

C = VP x (1 + r x n)

C = 3.000.000 x (1 + 0,25 x 206 / 360) = 3.429.166,67

Conclusión, es mejor pedir prestado con base 365 y prestar con base 360...

El banco le presta Bs. 26.000.000 con intereses cobrados por adelantado a 91 días, la tasa establecida por el banco, es del 17 %, indique el monto a recibir, utilice calendario comercial.

C = 26.000.000

r = 17 % = 0,17

n = 91 / 360

VP = C / (1 + r x n)

VP = 26.000.000 / (1 + 0,17 x 91 / 360) = 24.928.756

Ejercicios sugeridos: Hernández Hernández Pags. 117 a 130

c.- Tasa de interés compuesta: capitalización, valor presente, valor futuro, tiempo e intereses.

VP = C / (1 + r )^n

VP: Valor presente

C: Valor futuro o flujo de caja final

r: Tasa de interés (En función al periodo de tiempo)

n: Tiempo (Periodos de tiempo)

C = VP x (1 + r) ^ n

r = (C / VP)^(1/n) – 1

n = Ln(C/VP)/Ln(1+r)

Interés devengado = C – VP

Varias capitalizaciones:

N = Periodo en años

R= Tasa de Interés anual

K: Número de capitalizaciones por año

r = R / K

n=N*K

Tasa nominal y tasa efectiva

De nominal anual a efectiva anual:

Ref = (1+Rno/K)^K - 1

Ref: Tasa anual efectiva

Rno: Tasa anual nominal

De efectiva anual a nominal anual:

Rno = ((Ref + 1)^(1/K)-1) x K

Capitalizaciones

Semestral: K=2

Trimestral: K= 4

Mensual: K=12

Diaria: K=365

Continua: K = Infinito

Ejemplo Siendo Rno= 30 % Determine Ref en cada caso:

Semestral: K=2 Ref=(1+0,3/2)^2-1 = 32,25%

Trimestral: K= 4 Ref=(1+0,3/4)^4-1 = 33,55%

Mensual: K=12 Ref=(1+0,3/12)^12-1 = 34,49%

Diaria: K=365 Ref=(1+0,3/365)^365-1 = 34,97%

Continua: K = Infinito Ref= e^r-1 = 34,99%

Siendo Ref=40 % Determine Rno en cada caso

Semestral: K=2 Rno=((0,4+1)^(1/2)-1)x2 = 36,64%

Trimestral: K= 4 Rno=((0,4+1)^(1/4)-1)x4 = 35,10%

Mensual: K=12 Rno=((0,4+1)^(1/12)-1)x12 = 34,12%

Diaria: K=365 Rno=((0,4+1)^(1/365)-1)x365 = 33,66%

Continua: K = Infinito Rno= ln(1+Rfe) = 33,65%

Depositamos Bs. 1.100.000 a 6 meses con una tasa de interés anual efectiva del 30 %, ¿Cuánto dinero tenemos al final?

VP=1.100.000

n= 6 meses = 0,5 años

Ref= 30% = 3,3

Rno=((0.3+1)^(1/2)-1)*2 = 0,2804 = 28,04%

C = VP(1 + Rno x n)

C = 1.100.000(1 + 0,2804 x 0,5) = 1.254.193

O también:

C = VP(1 + Rfe)^n

C = 1.100.000 ( 1 + 0,3)^(1/2) = 1.254.193

Tasa efectiva  Interés compuesto

Tasa nominal  Interés simple

¿Cuánto valen en dinero de hoy Bs. 15.000.000 a ser recibidos dentro de tres años si la tasa anual es del 28 %?

VP = C / (1 + r)^n

C = 15.000.000

n = 3

r = 28 % = 0,28

...