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Suma de ángulos

y

Para demostrar el seno y el coseno de la suma de dos ángulos haremos uso de los números complejos. Para ello denotamos los dos siguientes:

El producto de dos números complejos en forma polar se define como el producto de sus módulos sub la suma de sus argumentos. Asimismo:

Si expresamos este número complejo en forma binómica mediante la fórmula de Moivre tenemos que:

De la misma forma podemos expresar ambos números y en su forma binómica y hacer dicho producto:

El producto entonces seguiría como:

Nota que . Ahora si simplificamos y separamos parte real de imaginaria tenemos que:

Y, como definimos al principio:

Así que igualando estás dos identidades; la parte real con la real y la imaginaria con la imaginaria tenemos que:

Como la tangente de un ángulo se define como el cociente entre el seno y el coseno de ese mismo ángulo, podemos decir que:

Ahora dividimos, tanto el numerador como el denominador, por . Y se nos queda en lo siguiente:

Resta de ángulos

y

Para demostrar estas dos identidades sólo tenemos que utilizar las identidades de la suma de ángulos del seno y coseno y veremos como los signos cambian solos:

Para hacer la tangente de la resta de dos ángulos hacemos lo mismo que hicimos con el seno y coseno; sustituimos en la ecuación de la suma de ángulos de la tangente:

Identidad Angulo doble

Con: sen ( 2 x )

Identidad

sen ( 2 x ) = 2 sen ( x ) cos ( x )

Deducción

sen 2 x = sen ( x + x ) = sen ( x ) cos ( x ) + cos ( x ) sen ( x ) = 2 sen ( x ) cos ( x )

Con: cos ( 2 x )

Identidad

cos ( 2 x ) = cos 2 ( x ) − sen 2 ( x )

Despejando la anterior ecuación se pueden obtener las siguientes identidades:

cos ( 2 x ) = 1 − 2 sen 2 ( x ) cos ( 2 x ) = 2 cos 2 ( x ) – 1

Deducción

cos ( 2 x ) = cos ( x + x ) = cos ( x ) cos ( x ) − sen ( x ) sen ( x )= cos 2 ( x ) − sen 2 (x )

Con: tan ( 2 x )

Identidad

tan ( 2 x ) = 2 tan ( x ) 1 − tan 2 ( x )

Deducción

tan ( 2x ) = tan ( x + x ) = tan (x ) + tan (x ) 1-tan ( x ) tan ( x ) = 2 tan ( x ) 1 − tan 2 ( x )

Ejemplos:

1. Encontrar sen(2x) y cos(2x) dada la información: sec(x)=2, x está en el IV cuadrante.

Solución:

a. De la definición de la función secante sabemos que: sec ( x ) = 1 cos ( x ) , entonces podemos hallar fácilmente cosx:

1 cos ( x ) =2 , por lo tanto despejando obtenemos: cos ( x ) = 1 2

Por la identidad de Pitágoras sabemos que: senx = − 1 − cos 2 ( x ) , se utiliza la raíz negativa ya que x está en el cuarto cuadrante. Con esta fórmula podemos hallar fácilmente sen(x):

( x ) = − 1 − ( 1 2 ) 2 = − 1 − 1 4 = − 3 4 = − 3 2

De las fórmulas antes mostradas sabemos que sen ( 2 x ) = 2 sen ( x ) cos ( x ) , entonces:

sen ( 2 x ) =2 ( − 3 2 ) 1 2 = − 3 2

igualmente sabemos que cos ( 2 x ) = cos 2 ( x ) − sen 2 ( x ) , entonces:

cos ( 2 x ) = ( 1 2 ) 2 − ( − 3 2 ) 2 = 1 4 − 3 4 = − 2 4 = − 1 2

2. Usar las fórmulas para reducir la potencia, reescribiendo la expresión en términos del primer ... de coseno: cos

...