APLICACIONES DE LA INTEGRAL

1.2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

1.2.1 ANTIDERIVADAS Y REGLAS DE INTEGRACIÓN.

Integración: Los problemas del Cálculo Integral dependen de la operación inversa.

Ejemplo: Hallar una función f(x) cuya derivada f´(x) = θ(x) es conocida. O bien, puesto que en el Cálculo Integral es usual emplear diferenciales, podemos escribir:

d f(x) = f´(x) dx = θ(x) dx

y enunciar el problema del Cálculo Integral como sigue:

“Dada la diferencial de una función, hallar la función”

∫▒〖Signo de Integral〗

∫▒〖f´(x)dx〗= f(x)

La diferencial dx indica que x es la variable de integración. Por ejemplo:

a) Sí f(x) = x3, entonces f´(x) dx = 3x2 dx, y ∫▒〖〖3x〗^2 dx = x^3 〗

b) Sí f(x) = Sen x, entonces f´(x) dx = Cos x dx, y ∫▒〖Cos x dx = Sen x〗

c) Sí f(x) = arc tan x, entonces f´(x) dx = dx/(1 + x^2 ), y ∫▒〖dx/(1 + x^2 ) = arc.tan⁡x 〗

Constante de Integración. Integral Indefinida.

Sí tenemos:

d( x3 ) = 3x2dx, entonces ∫▒〖〖3x〗^2 dx = x^3 〗

d( x3 + 2 ) = 3x2dx, entonces ∫▒〖〖3x〗^2 dx = x^3 〗 + 2

d( x3 - 7 ) = 3x2dx, entonces ∫▒〖〖3x〗^2 dx = x^3 〗 - 7

En general, como:

d ( x3 + C ) = 3x2dx

Siendo C una constante cualquiera, tenemos:

∫▒〖〖3x〗^2 dx = x^3 〗 + C

La constante arbitraria C se llama constante de Integración y es una cantidad independiente de la variable de integración. Por lo tanto:

Y puesto que C es desconocida e indefinida, la expresión:

f(x) + C

Se llama la la Integral Indefinida de f´(x) dx.

INTEGRALES

PROPIEDADES

A ∫▒〖k dv = K ∫▒dv〗

B ∫▒〖( du+dv )= ∫▒〖du+ ∫▒dv〗〗

ALGEBRAICAS

1.∫▒〖du = u+C〗

2.∫▒〖u^n du= u^(n+1)/(n+1)+C,n ≠ -1 〗

3.∫▒〖du/u=Ln |u|+C〗

TRIGONOMÉTRICAS

4.∫▒〖Sen U du = -Cos U+C〗

5.∫▒〖Cos U du=Sen U+C〗

6.∫▒〖Tan U du=Ln |Sec U|+C〗

7.∫▒〖Cot U du=Ln |Sen U|+C〗

8.∫▒〖Sec U du= Ln |Sec U+Tan U|+C〗

9.∫▒〖Csc U du=Ln |Csc U-Cot U|+C〗

10.∫▒〖Sec U Tan U du=Sec U+C〗

11.∫▒〖Csc U Cot U du= -Csc U+C〗

12.∫▒〖〖Sec〗^2 U du=Tan U+C〗

13.∫▒〖〖Csc〗^2 U du= -Cot U+C〗

EXPONENCIALES

14.∫▒〖a^u du= a^u/(Ln |a| )+C〗

15.∫▒〖e^u du = e^u+C〗

FORMA u^2 ,a^2

16.∫▒〖du/(u^2- a^2 )= 1/2a Ln |(u-a)/(u+a)|+C〗

17.∫▒du/(u^2+ a^2 )= 1/a Arc Tan u/a +C

18.∫▒〖du/(a^2- u^2 )= 1/2a Ln |(u+a)/(u-a)|+C 〗

19.∫▒〖√(a^2- u^2 ) du= u/2 √(a^2- u^2 )〗+ a^2/2 Arc Sen u/a +C

20.∫▒〖√(u^2 ± a^2 ) du= u/2〗 √(u^2 ± a^2 ) ± a^2/2 Ln |u+ √(u^2 ± a^2 )|+C

21.∫▒〖du/√(a^2- u^2 ) =Arc Sen u/a + C〗

22.∫▒〖du/√(u^2 ± a^2 ) = Ln |u+ √(u^2 ± a^2 )|+C〗

23.∫▒〖du/(|u| √(u^2- a^2 ))= 1/a〗 Arc Sec u/a +

METODOS DE INTEGRACIÓN

SUBSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

√(a^2- u^2 ) Hágase: u=a Sen θ

√(a^2+ u^2 ) Hágase: u=a Tan θ

√(u^2- a^2 ) Hágase: u=a Sec θ

POR PARTES

∫▒〖u dv = u v - ∫▒〖v du〗〗

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

∫_a^b▒〖dx = x |b¦a = b-a┤ 〗

...