Aplicacion De La Integral

Aplicaciones de la integral

Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos a utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.

Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral.

Área de una superficie plana

Regiones sobre el eje de las x. Sea y= f(x) una ecuación que determina una curva en el plano xy y supóngase que f es continua y no negativa en el intervalo a≤x≤b. Considérese la región R limitada por las gráficas de y=f(x), x=a, x=b, y y=0. Nos referiremos a R como la región bajo y=f(x) entre x=a y x=b. su área está dada por

A(R)= ∫_a^b▒f(x)dx

Ejemplo: Encuentre el área de la región R bajo la curva y = x4 - 2x3 + 2 entre x= -1 y x = 2

Solución: Una estimación razonable del área de R es su base por una altura promedio, digamos, (3)(2) = 6. El valor exacto es

A(R)=∫_(-1)^2▒(x4-2x3+2)dx=[x5/5-x4/2+2x]_(-1)^2=(32/5- 16/2+4)-(-1/5- 1/2-2)= 51/10=5.1

Regiones bajo el eje de las x. El área es un número no negativo. Si la gráfica de y = f(x) está debajo del eje de las x, entonces ∫_a^b▒f(x)dx es un numero negativo y, por lo tanto. No podrá ser un área. Sin embargo, es el inverso aditivo del área de la región limitada por y = f(x), x = a, x= b y y = 0

Ejemplo: Encuentre el área de la región R limitada por y = x2/3 – 4, el eje de las x, x = 2 y x=3

Solución: Nuestra estimación es de (5)(3)= 15. El valor exacto es

A(R)=-∫_(-2)^3▒〖(x2/3-4)dx=∫_(-2)^3▒(-x2/3+4)dx=〗[x3/9+4x]_(-2)^3 (-27/9+12)-(8/9-8)=145/9≈16.11

Volumen bajo una superficie

El orden de integración y los extremos de las integrales son los mismos que para el área de la región (S). El volumen de un sólido de este tipo es el ‘‘volumen bajo la superficie’’.

Ejemplo: Hallar el volumen limitado por el paraboloide elíptico

4 z = 16 - 4 x2 - y2

Solución. Despejando z obtenemos:

z = 4-x2-1/4 y2

Haciendo z = 0, resulta:

4 x2 + y2 = 16

Que es la ecuación de la curva de la base del sólido en el plano. Luego según:

Empleando el valor de z:

Y se resuelve la integral

Volúmenes solidos de revolución

Si una función se gira con respecto a un eje del plano se genera un volumen conocido como sólido de revolución y al eje se le llama eje de revolución.

En general, una función puede girarse libremente, por lo que la forma del sólido que se genera depende, tanto de la naturaleza de la función, como del eje de revolución.

Un volumen del sólido de revolución se conforma de la suma infinita de franjas unitarias de volumen y si se genera haciendo girar a una función f (x) alrededor del eje x, se puede calcular por medio de:

v=∫_a^b▒〖π∙〖[f(x)]〗^2 〗 dx

donde a y b representan las rectas que lo limitan, es decir, son los extremos.

Ejemplo:

Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar las siguientes funciones con los límites marcados y el eje de revolución dado.

1) y = x2 , el eje x y las rectas x =1 y x = 2

Solución:

∫_1^2▒〖π〖[x^2]〗^2 dx=∫_1^2▒〖πx^4 dx〗〗= (πx^5)/5 │_1^2= 32π/5-π/5=31π/5=19.47u^3

Teorema de Pappus.

Una relación útil entre el centro de gravedad y el volumen de un sólido de revolución se expresa en el siguiente teorema:

Si un recinto plano gira alrededor de un eje situado en su plano y no lo corta, el volumen del sólido de revolución así engendrado es igual al producto del área del recinto por la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad.

Coordenadas polares.

Área plana. Cuando las ecuaciones de las curvas que limitan una superficie plana se dan en coordenadas polares, es necesario hacer algunas modificaciones

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