Aplicaciones De La Integral

MATEMÁTICAS BÁSICAS

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Existen muchos campos del conocimiento en que existen aplicaciones de la integral. Por la naturaleza de

este concepto, puede aplicarse tanto en Geometría, en Física, en Economía e incluso en Biología.

Por sólo citar algunos ejemplos, a continuación se mencionan las aplicaciones más conocidas de la

integral:

1. Hallar el área de regiones planas.

2. Obtener los volúmenes de sólidos de revolución.

3. Calcular volúmenes de sólidos con secciones conocidas.

4. Determinar la longitud de arco de una curva.

5. Examinar el comportamiento aleatorio de variables continuas (función de densidad probabilidad).

6. Conocer el valor promedio de una función.

7. Hallar momentos (fuerzas que ejercen ciertas masa con respecto a un punto) y centros de masa o

centroide (el punto en que un objeto se equilibra horizontalmente).

8. Encontrar la presión ejercida por un fluido.

9. Calcular el trabajo realizado de mover un objeto de un punto a otro.

10. Obtener velocidades y aceleraciones de móviles.

11. Conocer el superávit del consumidor (cantidad de dinero ahorrado por los consumidores, al comprar

un artículo a un precio dado).

12. Determinar el flujo sanguíneo (volumen de sangre que pasa por una sección transversal por unidad

de tiempo) de una persona y su gasto cardiaco (volumen de sangre bombeado por el corazón por

unidad de tiempo.

A continuación se profundiza en las primeras dos aplicaciones enlistadas.

CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS

Para calcular un área plana, se efectúa la siguiente metodología:

1. Se trazan las curvas que limitan el área que se desea conocer.

2. Se identifican los puntos en los que se cortan las curvas.

3. Se determina la zona de la que hay que calcular el área.

4. Se decide que variable conviene integrar

5. Se procede a integrar bajo los límites encontrados.

Ejemplos.

Hallar el área limitada por las siguientes condiciones:

1) Curva y = x2 , el eje x y por las rectas x =1 y x = 3

Solución:

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la integral Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2

x

y

1 2 3 4

16

8

4

12

Área

2

3

1

3 3

1

2 8.66

3

26

3

1

3

27

3

u

x

A = ∫ x dx = = - = »

2) El eje y , la curva 2 x = 8 + 2y - y y por las rectas y = -1 y y = 3

Solución:

x

y

1 2 3 4

4

1

-1

3

Área

5 6 7 8

2

9

( ) ( ) 







 + + - - - + =  





  



= + - = + -

- -

∫ 3

1

24 9 9 8 1

3

8 2 8

3

1

3

2

3

1

2 y

A y y dy y y

2 30.66

3

92

3

20

24 u » = 







= - -

3) Curva 7 6 y = x2 - x + , el eje x y por las rectas x = 2 y x = 6

Solución:

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la integral Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

3

x

y

2 4

-2

...