Aplicaciones de la Integral

MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral

4

4.1 ÁREAS DE REGIONES PLANAS

4.2 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

4.3 LONGITUD DE UNA CURVA PLANA

4.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN

Objetivo:

Se pretende que el estudiante calcule áreas de regiones planas generales, volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una curva plana

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4.1 AREAS DE REGIONES PLANAS

4.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA

En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida.

Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana

El área del elemento diferencial será: dA= hdx= f (x)dx

b

Por tanto, el área de la región plana es: A = ∫ f ( x)dx

a

4.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS

Si la región plana tuviera la siguiente forma:

El área del elemento diferencial será: dA = hdx = [ f ( x) − g ( x)]dx

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b

Entonces el área de la región plana esta dada por: A = ∫[ f ( x) − g ( x)]dx

a

CONCLUSIÓN:

Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos:

1. Dibuje las curvas dadas.

2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración.

3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo.

4. Defina la integral o las integrales para él área.

5. Evalúe la integral definida.

Ejemplo 1

Calcular el valor del área de la región limitada por y = x + 4

y = x 2 − 2

SOLUCIÓN:

PASO 1: Graficamos en un mismo plano y = x + 4 y y = x 2 − 2

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

x + 4 = x 2 − 2

x 2 − x − 6 = 0

( x − 3)( x + 2) = 0 x = 3 ∨ x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería:

3

A = ∫[( x + 4)− (x 2 − 2)]dx

− 2

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

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3 3

A = ∫[( x + 4)− (x 2 − 2)]dx = ∫[− x 2 + x + 6]dx

−2 −2

x 3 x 2 3

= − + + 6 x

3 2

−2

(− 2)3 (− 2)2

33 3 2

= − + + 6(3) − − + + 6(− 2)

3 2 3 2

= −9 + 9 + 18 − 8 + 2 −12

2 3

A = 5

6

Ejemplo 2

Calcular el valor del área de la región limitada por = x 3 − x 2 − 6 x

y

y = 0

SOLUCIÓN: y = x3 − x2 − 6 x

PASO 1: Dibujamos

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x.

PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

x3 − x2 − 6 x = 0 x(x 2 − x − 6)= 0

x( x − 3)( x + 2) = 0

x = 0 ∨ x = 3 ∨ x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería:

0 3

A = ∫[(x 3 − x 2 − 6 x )− (0)]dx + ∫[(0) − ( x 3 − x 2 − 6 x]dx

−2 0

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

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0 3

A = ∫[(x 3 − x 2 − 6 x )− (0)]dx + ∫[( 0) − ( x 3 − x 2 − 6 x]dx

−2 0

0 3

= ∫[x 3 − x 2 − 6 x]dx + ∫[− x 3 + x 2 + 6 x]dx

−2 0

x 4 x 3 x 2 0 x 4 x 3 x 2 3

= − − 6 + − + + 6

4 3 2 −2 4 3 2 0

(− 2) (− 2) 2

4 3 3 4 3 3 3 2

(− 2) − (0)

= 0 − − − 6 + + 6

+ −

4 3 2 4 3 2

= −4 − 8 +12 − 81 + 9 + 27

3 4

= 253

A

12

4.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y

Si la región plana tuviese la siguiente forma:

Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal

El área del elemento diferencial será: dA = hdy = xdy = f ( y)dy

d

Entonces el área de la región plana es: A = ∫ f ( y)dy

c

Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos:

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El área del elemento diferencial será: dA = hdy = [ f ( y) − g ( y)]dy

Entonces el área de la región plana esta dada por:

d

A = ∫[ f ( y) − g ( y)]dy

c

Ejemplo 3

y = x

Calcular el área de la región limitada por y = − x + 6

y = 0

SOLUCIÓN:

PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y = x y y = − x + 6

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.

PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas.

PRIMER MÉTODO.

Escogemos el elemento diferencial vertical

x = − x + 6 ( x )2 = (− x + 6)2

x = x2 − 12 x + 36

x2 − 13x + 36 = 0

( x − 9)( x − 4) = 0

x = 9 ∨ x = 4

El área está dado por:

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4 6

A = ∫ x dx + ∫(− x + 6)dx

0 4

4 2 6

= 2 ( x )32 + − x + 6 x

3 0 2

4

...