Aplicaciones De La Integral

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL

Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.

CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS

Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas. Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX, y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área.

Ejemplo 1 :

a) Hallar el área de la región limitada por la curva Y = x2, el eje OX y las rectas

x=2 y x=4.

b) Hallar el área de la región limitada por la curva Y = X3 -3X2 –X + 3 y el eje

OX en el intervalo 1,3

,.

c) Hallar el área delimitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX , en el intervalo [0,2 π]

Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de la integral definida para cubrir no sólo el área de la región bajo una curva, sino el de una región comprendida entre dos curvas. Por tanto, obtenemos el siguiente resultado :

Teorema (Área de una región entre dos curvas):Si f y g son funciones continuas en

[a,b] , y se verifica que g(x) ≤f ( x) ∀x ∈(a,b), entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g, y las rectas verticales x= a y x= b , es :

[A= [f (x) – g(x) ]dx

Observaciones:

a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g sean continuas y de que g(x) ≤ f( x)

.

b) Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje OX

.

c) Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que g(x) ≤ f( x) y otras veces que f(x) ≤

g(x), entonces el área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo [a,b], viene dado por la fórmula:

b

[A= f(x) – g (x) dx

a

CÁLCULO DE VOLÚMENES

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones

de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el

Volumen de un sólido tridimensional. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución

Generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

Volúmenes de revolución: El Método de los discos

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco = π2Rw

Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de

Revolución general, consideremos una función continua f(x) definida en el intervalo

[a,b] , cuya gráfica determina con las rectas x=a x=b , y=0 , el recinto R . Si giramos este recinto alrededor del eje OX, obtenemos un sólido de revolución.

Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida.

Elegimos una partición regular de

[a,b],: a = x0 < x1 <……. x n-1 < xn = b

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es πR2 W la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

n

∑ π f2 (ci) (xi –xi-1)

Siendo:

♦ Ci ∈(Xi-1,xi)

♦ ω =(xi- xi-1) , la altura (anchura) de los cilindros parciales

♦ R= f(Ci) el radio de los cilindros parciales

Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es decir:

n

V= Lim ∑ π f2 (Ci) (Xi – Xi-1)

n- ∞

Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

a

V = ∫ π f2 (x) dx

b

...