Aplicaciones De La Integral

EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

Para hallar el área de una región, primero se Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x)=0 y resolviendo la ecuación, el área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte. La idea o el concepto que manejamos de área, es la magnitud que mide de algún modo el tamaño de una región acotada, es decir, cuánto mide una superficie

dA=hdx= f (x)d para obtener la sumatoria de los rectángulos debajo de la curva , tomamos un valor xi, dentro del intervalo [a,b], tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que Xi sea la base y f(xi) sea altura

xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor aproximación del área

VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN REVOLUCIÓN

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

MÉTODOS DE CAPAS

• Mostrar en un gráfico al área cuestión, una franja representativa paralela al eje de revolución y el rectángulo aproximante.

• Escribir el volumen (=circunferencia media x la altura x espesor) de la capa cilíndrica engendrada al girar el rectángulo aproximante en torno al eje de revolución, y sumar para n rectángulos.

• Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.

Si el eje de revolución es el eje y, y el área plana, en el primer cuadrante, está acotada abajo por el eje x, arriba por y = f(x), a la izquierda por x= a y a la derecha por x = b, entonces el volumen V viene dado por:

V = 2

dx = 2

dx

Análogamente, si el eje de rotación es el ejes x y el área plana, en el primer cuadrante, está limitada a la izquierda por el eje y, a la derecha por x = f(y), superiormente por y = d , e inferiormente por y = c, entonces el volumen V viene dado por:

V = 2

dy = 2

dy

Ejemplo 3.1

Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la parábola

y2= 8x y su latus rectum (x = 2) en torno al latus rectum

Solución: Dividimos el área plana horizontalmente. Cuando el rectángulo aproximante se hace girar en torno al latus rectum, se genera un disco de radio 2 - x, altura y, y volumen (2 - x)2

El MÉTODO DEL DISCOS

Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, úsese una de las fórmulas siguientes.

Eje horizontal de revolución Eje vertical de revolución

Volumen = V=

[R(x)]2 dx Volumen = V =

[R(y)]2 dy

W =

P = fuerza perpendicular a un área

Área sobre la que actúa la fuerza

dy = 2

= 2

=

unidades

TEOREMA DE BLISS

= w

dy

P(x,b)

(x,1/2b)

TEOREMA DEL EJE PARALELO

El momento de inercia de un área, arco o volumen con respecto a cualquier eje es igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo que pase por el centroide más el producto del área, longitud de arco o volumen por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes paralelos.

PRIMER TEOREMA DE PAPPUS

Si un área plana se hace girar en torno a un eje en su plano

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