APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA CIENCIA Y TECNOLOGIA

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA CIENCIA Y TECNOLOGIA

La derivada permite resolver problemas que impliquen maximizar o minimizar una cantidad expresada en función de otra variable. Por ejemplo hallar la ganancia máxima al vender un producto o el costo mínimo de fabricarlo.

Lo más importante es expresar la cantidad que se va a optimizar como función de alguna variable. Esa expresión (función) se puede derivar y con la derivada se pueden hallar puntos críticos de esa función. Dichos puntos se evalúan con la segunda derivada de la función para determinar si corresponden a un máximo o a un mínimo, o ni lo uno ni lo otro. Se debe tener en cuenta el intervalo de valores para los que el problema tiene sentido.

Muchas veces los extremos de ese intervalo son los valores óptimos buscados cuando no se pueden obtener valores críticos con la derivada.

El procedimiento para obtener estos valores críticos se basa en la identificación de las partes crecientes y decrecientes de una función. Además se establecen unos pasos para determinar el tipo de valor crítico mediante la primera y la segunda derivadas.

Cálculo de máximos y mínimos

Función creciente y función decreciente: Una función es creciente en el intervalo I, si para dos números x1, x2 cualesquiera en I, tales que x1 < x2, se tiene que f(x1) < f(x2).

Una función es decreciente en el intervalo I, si para dos números x1, x2 cualesquiera en I, tales que x1 < x2, se tiene que f(x1) > f(x2).

Criterio de la primera derivada

•Si f′(x) > 0 cuando a < x < b, entonces f es una función creciente en a < x < b.

•Si f′(x) < 0 cuando a < x < b, entonces f es una función decreciente en a < x < b.

•Si f′(x) = 0 cuando a < x < b, entonces f es una función constante en a < x < b.

Los pasos a seguir para evaluar una función con el criterio de la primera derivada son:

Obtener la derivada de la función.

Determinar los valores críticos, esto es los valores de x en la derivada de la función cuando

f´(x) = 0.

Marcar los valores críticos en la recta numérica y escoger un valor cualquiera entre cada intervalo, después sustituir el valor seleccionado en la derivada. Con esto se determinará el signo de la derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y después del valor crítico.

De acuerdo con los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el siguiente criterio:

1. Si los signos son (+)(−), se tiene un máximo local.

2. Si los signos son (−)(+), se tiene un mínimo local.

3. Si los signos son (+)(+) o (−)(−), no hay extremo local.

Criterio de la segunda derivada

Si f'(x) > 0 cuando a < x < b, entonces f es una función cóncava hacia arriba en a < x < b.

Si f'(x) < 0 cuando a < x < b, entonces f es una función

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