Algebra Ecuaciones Lineales

de una

ecuación, el conjunto solución no cambia

Propiedad de la multiplicación de igualdades

Para todos los números reales a,b y c , donde c ¹ 0, las ecuaciones

a = b y ac = bc son equivalentes.

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O sea si se multiplican (o se dividen) ambos miembros de una ecuación por el

mismo número diferente de cero, el conjunto solución no cambia.

EJEMPLO Resuelva 4x - 2x - 5 = 4 + 6x + 3.

Primero, reduzca términos semejantes de manera separada en ambos lados de

la ecuación para obtener: 2x - 5 = 7 + 6x

Luego, utilice la propiedad de la suma para obtener los términos con x en el

mismo lado de la ecuación y los demás términos (los números) en el otro lado.

Una manera de hacerlo consiste en sumar primero 5 a ambos miembros.

2x - 5 + 5 = 7 + 6x + 5

2x = 12 + 6x

Ahora reste 6x a ambos lados.

2x - 6x = 12 + 6x - 6x

- 4x = 12

Por último, divida ambos entre -4 para obtener sólo la x en el lado izquierdo.

4

12

4

4

-

=

-

- x

o sea x = -3

Para estar seguro de que -3 es la solución, verifíquela sustituyendo en la

ecuación original (no en una intermedia).

4x -2x -5 = 4+6x +3 Ecuación dada.

4(- 3)- 2(- 3)- 5 = 4 + 6(-3) + 3 sea x = -3

-12 + 6 - 5 = 4 -18 + 3

-11 = -11 Verdadera

Como se obtiene una proposición verdadera, -3 es la solución. El conjunto

solución es {- 3}

EJEMPLO: Resuelva 2(k -5)+ 3k = k + 6.

Comience por utilizar la propiedad distributiva para simplificar y reducir

términos del lado izquierdo de la ecuación.

( )

2 10 3 6

2 5 3 6

- + = +

- + = +

k k k

k k k

Propiedad distributiva

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5k -10 = k + 6 Reduciendo términos semejantes.

5k -10 +10 = k + 6 +10 Sumando 10 a ambos miembros

5k = k +16 Reduciendo términos semejantes.

5k - k = k +16 - k Restando k a ambos miembros

4k = 16 Reduciendo términos semejantes.

4

16

4

4 = k

Dividiendo ambos miembros entre 4,

k = 4 Valor de k que satisface la ecuación

Verifique que el conjunto solución es {4}, sustituyendo 4 por la k en la

ecuación original.

EJEMPLO: Resuelva 4.

2

2 8

6

7 x + + x - = -

Comience por eliminar las fracciones. Multiplique ambos lados por 6.

6 ( 4)

2

2 8

6

7

6 - × = 





 x + + x -

6 ( 4)

2

2 8

6

6

7

6 - × = 







+  - 







 x + x

( )

1

7

7

7

7

7 7

7 17 17 24 17

7 17 24

7 6 24 24

7 3 2 8 24

= -

= -

= -

- + = - +

- = -

+ + - = -

+ + - = -

x

x

x

x

x

x x

x x

Verifique que {-1}es el conjunto solución.

EJEMPLO: Resuelva 0.06x + 0×09(15 - x) = 0.07(15)

Como cada número decimal se da en centésimos, multiplique ambos miembros

de la ecuación por 100, para trabajar sólo con enteros,

0.06x + 0.09(15 - x) = 0.07(15)

6x + 9(15 - x) = 7(15)

6x + 9(15)- 9x = 105

- 3x +135 -135 =105 -135

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