Balanceo De Lineas

opCADENAS DE MARKOV

Una cadena de Markov, que recibe su nombre del matemático ruso Andrei Markov, es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.

En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.

En matemáticas, se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la Propiedad de Markov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro.

Una cadena de Markov es una secuencia X1, X2, X3,… de variables aleatorias. El rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en estados pasados es una función de Xn por sí sola, entonces:

Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la Propiedad de Markov.

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.

El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo más importante aún, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo.

La tarea más difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La característica más importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro.

Formulación de las cadenas de Markov.

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.

Probabilidades de transición.

Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados. En ésta se ilustra un sistema de Markov con cuatro estados posibles: M1, M2, M3 y M4. La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el diagrama

Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición.

Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. .

Para n = 0, 1, 2,….

El superíndice n no se escribe cuando n = 1.

Procesos estocásticos.

Un proceso estocástico se define sencillamente como una colección indexada de variables aleatorias {X1}, donde el subíndice t toma valores de un conjunto T dado. Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos y X, representa una característica de interés medible en el tiempo t. Por ejemplo, el proceso estocástico, X1, X2, X3,.., Puede representar la colección de niveles de inventario semanales (o mensuales) de un producto dado, o puede representar la colección de demandas semanales (o mensuales) de este producto.

Un estudio del comportamiento de un sistema de operación durante algún periodo suele llevar al análisis de un proceso estocástico con la siguiente estructura. En puntos específicos del tiempo t , el sistema se encuentra exactamente en una de un número finito de estados mutuamente excluyentes y exhaustivos, etiquetados 0, 1 . . , S. Los periodos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o su esparcimiento puede depender del comportamiento general del sistema en el que se encuentra sumergido el proceso estocástico. Aunque los estados pueden constituir una caracterización tanto cualitativa como cuantitativa del sistema, no hay pérdida de generalidad con las etiquetas numéricas 0, 1. . , M, que se usarán en adelante para denotar los estados posibles del sistema. Así la representación matemática del sistema físico es la de un proceso estocástico {Xi}, en donde las variables aleatorias se observan en t = 0, 1, 2,. . ., y en donde cada variable aleatoria puede tomar el valor de cualquiera de los M + 1 enteros 0, 1,.. , M. Estos enteros son una caracterización de los M + 1 estados del proceso.

Propiedad Markoviana de 1o. orden.

Se dice que un proceso estocástico tiene la propiedad Markoviana si

P Xt+1 = j = P X t+1 , para toda t = 0, 1 . Y toda

Sucesión i, j , K0 , K1 . . , Ki-1.

Se puede demostrar que esta propiedad Markoviana es equivalente a establecer una probabilidad condicional de cualquier “evento” futuro dados cualquier “evento “pasado y el estado actual Xi = i, es independiente del evento pasado y sólo depende del estado actual del proceso. Las probabilidades condicionales PXt+1 = j se llaman probabilidades de transición. Si para cada i y j,

P Xt+1 = j = pX1 = j, para toda t = 0, 1,….

Entonces se dice que las probabilidades de transición (de un paso) son estacionarias y por lo general se denotan por pij. Así, tener probabilidades de transición estacionarias implica que las probabilidades de transición no cambian con el tiempo. La existencia de probabilidades de transición (de un paso) estacionarias también implica que, para cada i, j y n (n = 0, 1, 2,…),

P Xt+n = j = pXn = j,

Para toda t = 0, 1,. . . Estas probabilidades condicionales casi siempre se denotan por y se llaman probabilidades de

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