Circuitos En Regimen Transitorio Con Ecuaciones Diferenciales

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del poder popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada

UNEFA

Núcleo Anzoátegui – Extensión Puerto Piritu

IV semestre de Ing. telecomunicaciones

Redes Eléctricas

Facilitador (a):

Bachilleres:

18/02/2012

Introducción

Estos apuntes están pensados como complemento a la cátedra de redes eléctricas y surgen debido a la necesidad de impartir conocimientos básicos de las herramientas de análisis de circuitos básicos donde pretendemos determinar la respuesta completa de la misma con dos o más elementos almacenadores de energía.

Estos circuitos con dos elementos de almacenamiento de energía se describen por una ecuación diferencial de segundo orden, o dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. De igual manera este capitulo se podrá observar como la respuesta del circuito toma diferentes formas funcionales al variar los valores de los elementos del circuito. En este capitulo se debe hallar la respuesta natural para circuitos de segundo orden, en primer caso sin fuentes y luego incluyendo fuentes, para encontrar la respuesta total como la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada.

El presente trabajo presenta los siguientes puntos:

Circuitos en régimen transitorio con ecuaciones diferenciales.

Comportamiento de los elementos circuitales en régimen transitorios.

Condiciones iniciales de circuitos en régimen transitorios.

Redes electrónicas de primer orden. Circuito RC y RL.

Constante de tiempo de circuitos en régimen transitorio.

Redes eléctricas de segundo orden. Circuitos RLC. y la

Respuesta natural forzada en circuitos en régimen transitorio. Amortiguamiento (critico, subcritico y amortiguado).

La misma ampliaremos en este trabajo para así reforzar nuestros conocimientos.

Régimen Transitorio

Un circuito antes de llegar a una situación estacionaria o régimen permanente pasa por un periodo de transición durante el cual tensiones y corrientes varían hasta llegar a la condición de equilibrio impuesto por la red.

En general, cualquier proceso de conexión/desconexión hará que existan fenómenos transitorios. Estos, aunque generalmente son de corta duración, pueden producir problemas serios en el funcionamiento de los circuitos.

Este régimen transitorio viene condicionado por los componentes que almacenan energía: bobina y condensadores.

Cuando se produce un cambio en las magnitudes de un circuito, tensión o corriente, decimos que el circuito esta en régimen transitorio. Al cambiar las condiciones de un elemento de un circuito se pierde el régimen permanente y tras sucederse los cambios de tensión/corriente se vuelve de nuevo al equilibrio en otro régimen permanente. Al intervalo entre los dos regímenes permanentes se les denomina régimen transitorio.

Comportamiento de los Elementos Circuitales en Régimen Transitorio

Circuitos de Primer Orden:

Los cambios en las magnitudes que se dan durante el régimen transitorio se pueden representar mediante una ecuación diferencial cuando el circuito solo existen elementos almacenadores de un sola naturaleza, la ecuación será de primer orden, y decimos que el circuito es de primer orden.

Elementos Circuitales Básicos

Los elementos circuitales se pueden dividir en dos grupos, elementos activos y elementos pasivos, el primer grupo engloba a los elementos resistivos, capacitivos e inductivos, en el segundo grupo tenemos a los generadores, que a su vez se pueden clasificar en generadores detención y generadores de corriente.

Elementos pasivos, los resistores presentan una relación lineal entre tensión y corriente expresada en la siguiente ecuación que se representa gráficamente.

Nombre Siglas Valor

Kilo Ohmio Ks 10³s

Mega Ohmio Ms 10⁶s

Giga Ohmio Gs 10⁹s

El valor de las resistencias suele venir dado mediante un código de colores, además otras características de esta su tolerancia. La tolerancia indica el rango de error del valor real del valor de la resistencia frente al valor nominal. Así pues, un resistencia de 1000s con una tolerancia del 5% su valor real estará comprendido entre 950s y 1050s.

Los resistores presentan una relación lineal entre tensión que se expresa V(t) = RI(t)

Y la representa gráficamente de la siguiente manera.

Esta unidad suele emplearse para los conductores donde la resistencia es muy pequeña, y da una idea de la capacidad de un material para conducir la electricidad.

La resistencia es un dispositivo que extrae y dispara energía del sistema. De hecho, la capacidad de un dispositivo electrónico que dispara energía se representa como una resistencia de mayor o menor tamaño en función de la cantidad de energía disipada.

La energía que es capaz de disparar una resistencia y de la corriente que circula por ella.

Potencia Disparada = I² (t) R

Donde I es la corriente que circula por la resistencia y R el Valor de la resistencia.

Capacidad (Condensador)

Esta se caracteriza por la capacidad de almacenar carga, no disipan energía como ocurre con los resistores, si no que la almacenan.

Las capacidades presentan una relación lineal entre la carga y la tensión de la siguiente forma.

Q(t) = C V (t)

La representación grafica del condensador la podemos ver en el siguiente figura.

Esta expresión la podemos poner

Si conocemos en algún instante t₀ el valor de V(t) podemos transformar la integral en una integral definida de la forma expresada en la ecuación siguiente.

La unidad de medida es el faradio. Se utiliza normalmente submúltiplo del faradio. Los submúltiplos mas empleados son los siguientes:

Nombre Siglas Valor

Micro Faradio Mf 10⁻⁶f

Nano Faradio Nf 10⁻⁹f

Pico Faradio Pf 10⁻¹²f

Elementos Activos

Generador ideal de tensión mantiene entre sus bornas una tensión independiente de la corriente que circula. Su resistencia interna es nula. La representación grafica de generador la podemos ver en la siguiente figura.

Si la tensión entre las bornas del generador es constante el generador se presenta gráficamente a continuación.

Generador ideal de corriente. Fija la corriente que circula por el independientemente de la tensión entre sus bornas.

Condiciones Iniciales de Circuitos en Régimen Transitorio

Entre el régimen transitorio tenemos las lineales y de tipo de excitación.

La ecuación que caracteriza un circuito RCL genérico se puede describir:

La solución de la ecuación caracteriza un circuito RCL genérico se puede escribir como Y(t) = Yh(t) + Yp(t) para resolver la ecuación necesito condiciones iniciales como el orden de la ecuación.

Condiciones Iniciales Primarias

Resistencia V(t) = Ri(t)

No necesita condiciones de contorno, no tiene memoria (no necesitamos conocer el valor de i en t₀).

Inducciones

Necesitamos conocer las condiciones iniciales para la resolución del problema. Una de las características a tener en cuenta a la hora de seleccionar las condiciones iniciales necesarias es que la corriente no puede variar bruscamente en una bobina (pero si la tensión).

Supongamos un circuito formado por una bobina y un generador de tensión constante.

En el instante t₀ cerramos el circuito, podemos distinguir dos instantes iniciales, el instante infinitesimal previo a cerrar el circuito y el instante infinitesimal posterior a cerrar el circuito. En una bobina el flujo magnético no puede variar bruscamente por lo que la corriente tampoco puede, así pues, podemos decir: i (0⁻) = i (0⁺)

Capacidad

De forma análoga al caso anterior supongamos un circuito formado por un condensador y un generador de corriente constante. En el instante t₀ cerramos el circuito, podemos distinguir dos instantes iniciales, el instante infinitesimal previo a cerrar el circuito y el instante infinitesimal posterior a cerrar el circuito.

Redes Electrónicas de Primer Orden

Circuitos RC y RL

La curva de carga y descarga de un circuito RC. Un circuito de este tipo consiste en un condensador conectado en serie con una resistencia a través de la cual pasa la corriente de carga L descarga.

La evolución temporal de la intensidad que fluye por una autoinducción conectada a una resistencia (Circuito RL) a la que se aplica o retira bruscamente una tensión de continua.

La respuesta de cualquier de estos circuitos se describe a través de una ecuación diferencial ordinaria de coeficientes constantes de primer orden.

Los circuitos de primer orden son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energía (puede ser un condensador o inductor), y que además pueden describirse usando solamente una ecuación diferencial de primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden:

Circuito RC (resistor y condensador)

Circuito RL (resistor e Inductor)

Los circuitos serie RL y RC tienen un comportamiento similar en cuanto a su respuesta en corriente y en tensión, respectivamente.

Al cerrar el interruptor S en el

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