Ecuaciones Diferenciales

UNIDAD III

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

DEFINICION DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una ecuación diferencial es una igualdad en la que intervienen:

a) Una o varias variables independientes

b) La variable dependiente o función incógnita

c) Las derivadas de la función incógnita

Si la función incógnita es solo función de una variable, la ecuación diferencial se llama ordinaria.

Si la función incógnita es función de mas de una variable, la ecuación diferencial se llama en derivadas parciales.

En este curso solo estudiaremos las ecuaciones diferenciales ordinarias.

FORMA IMPLICITA: F(x,y(x),y´,y´´,...,y(n))= 0

FORMA EXPLICITA: y(n)= f(x,y(x),y´,y´´,...,y(n-1))

ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Esta dado por el orden de la mayor derivada que interviene en la ecuación.

GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es el exponente (nº natural) al que esta elevada la derivada de mayor orden que interviene en la ecuación.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es una familia de curvas n-parametricas (es decir, con n constantes) de la forma:

Y=φ (x,c1,c2,...,cn)

El nº de constantes corresponde al orden de la ecuación diferencial. En esta unidad estudiaremos solo las ec. Diferenciales de 1º orden, es decir:

F(x,y(x),y´)=0

Y la solución es de la forma y=φ(x,c1)

Se distinguen tres tipos de soluciones (curvas integrales)

1) Solución general: Es el conjunto de todas las curvas que verifican la ecuación.

2) Solución particular: Es una de las curvas que conforman la solución general. Se halla conociendo ciertas condiciones iniciales.

3) Solución singular: es una curva que, sin formar parte de la solución general, también es solución de la ecuación (no toda ecuacion diferencial tiene solución singular).

FORMACION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL CONOCIDA SU SOLUCIÓN GENERAL

Dato: y=φ(x,c1,c2,...,cn) (solución general en forma explicita)

Para hallar la ecuación diferencial de la cual la solución general es la dada, se siguen los siguientes pasos:

• Derivamos tantas veces como constantes independientes o esenciales aparecen en la solución general, respecto de la variable independiente.

• Si al terminar de derivar la ecuación que resulta no contiene ninguna de las constantes, entonces esta es la ecuación diferencial buscada

• Si en cambio una o todas las constantes permanecen aun, debemos formar un sistema con las ecuaciones resultantes tras las derivaciones y eliminar las constantes, es decir:

Y=φ(x,c1,c2,..,cn)

Y´=φ’

Y´=φ´´

Y(n)=φ(n)

METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

I) ECUACIONES DIFERENCIALES A VARIABLES SEPARADAS O SEPARABLES

Las ecuaciones a variables separadas son de la siguiente forma:

f(y)dy = g(x)dx

Se resuelve integrando ambos miembros:

∫f(y)dy = ∫g(x)dx

H(y)= G(x)+C

En cambio, si tenemos una ecuación diferencial de la siguiente forma:

F(x,y(x))dy = g(x,f(x))dx

Si es posible descomponer ambos miembros de la igualdad en producto de funciones de una sola variable, es decir:

F(x,f(x)) = f1(x).f2(f(x))

G(x,f(x)) = g1(x).g2(f(x))

Resulta una ecuación diferencial a variables separables:

f1(x).f2(y(x))dy = g1(x).g2(f(x))dx

Agrupamos según las variables:

f2(y(x))/g2(y(x))dy = f1(x)/g1(x)dx

Integro en ambos miembros y resuelvo:

∫f2(y(x))/g2(y(x))dy = ∫f1(x)/g1(x)dx

H(y(x))= G(x)+C

II) ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS DE 1º ORDEN

Recordamos la definición de función homogénea:

Una función f(x,y) es homogénea de grado ‘m’ si se verifica la siguiente igualdad:

F(λx,λy) = λ f(x,y) λ Є R

A partir de ahora nos interesaran únicamente las funciones homogéneas de grado cero.

Estas funciones poseen una característica especial: siempre es posible expresarlas como una función del cociente y/x o x/y.

DEFINICION DE ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGENEA DE 1º GRADO

Es de la forma y´=f(x,y) una función homogénea de grado cero.

Teniendo en cuenta la característica especial de las funciones homogéneas de grado cero podemos expresar a la ecuación dada así:

Y´=f(y/x)

Por lo tanto, la sustitución apropiada es:

Y(x)/x=z(x) (z es función

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