Ecuaciones Diferenciales

Estas notas pretenden mostrar una breve

historia de las ecuaciones diferenciales. Se ha

pretendido dar m´s ´nfasis a las ideas que aa e

las biograf´ de los matem´ticos creadores deıasa

la teor´ En la siguiente direcci´nıa.o

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk

se halla una colecci´n de biograf´ de losoıas

matem´ticos m´s famosos.aa

La mayor parte de estas notas hist´ricaso

est´ sacadas de [1].a

6

ds

dx

dy

-

Figura 1: El tri´ngulo caracter´aıstico.

En 1690, Jacques Bernouilli plante´ el pro-o

blema de encontrar la curva que adopta una

cuerda flexible, inextensible y colgada de dos

puntos fijos, que Leibniz llam´ catenaria (delo

lat´ cadena). Galileo pens´ que esta cur-ıno

va era una par´bola, mientras que Huygensa

prob´ que esto no era correcto.o

6

c

c

1. Ecuaciones diferenciales de 1er orden

Los primeros intentos para resolver proble-

mas f´ısicos mediante el c´lculo diferencial aa

finales del siglo XVII llevaron gradualmente

a crear una nueva rama de las matem´ticas,a

a saber, las ecuaciones diferenciales. A media-

dos del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales

se convirtieron en una rama independiente y

su resoluci´n un fin en s´ mismo.oı

Ya Newton (los creadores del c´lculo in-a

finitesimal fueron Leibniz y Newton) ob-

serv´ que si dn y/dxn = 0, entonces y(x) eso

un polinomio de grado n − 1, en particular, y

depende de n constantes arbitrarias, aunque

esta afirmaci´n tuvo que esperar hasta el sigloo

XIX para poder ser demostrada con rigor (la

demostraci´n est´ndar actual usa el teoremaoa

del valor medio). Los matem´ticos de la ´pocaae

con frecuencia usaban argumentos f´ısicos: si

y(t) denota la posici´n en el tiempo t de unao

part´ıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Si

dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es

decir, la part´ıcula no se mueve y su posici´n,o

por tanto, permanece constante.

En 1693 Huygens habla expl´ıcitamente de

ecuaciones diferenciales y en el mismo a˜o,n

Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales

son funciones de elementos del tri´ngulo ca-a

racter´ıstico.

1

a

b

-

Figura 2: Una catenaria.

En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouil-

li publicaron soluciones independientes. La de

Jean Bernouilli es la que se encuentra habi-

tualmente en los textos de mec´nica:a

Consideremos un cable homog´neo sujetoe

por sus dos extremos (que suponemos a la

misma altura) y que distan 2a uno del otro

y sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la

funci´n que describe la posici´n del cable. Poroo

conveniencia se asumir´ que la altura m´aınima

del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,

y (0) = 0).

s

6

a

s

A partir de ahora, denotaremos c = gρ/ T0 .

Como (v´ase la figura 1)e

dy/dx = tan θ,

(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 ,

T0 _

c_c _

_

__θ

y

3__ T

_

si derivamos (respecto a x) la ecuaci´n (1), seo

obtiene

-

x

d2 y

=c

dx2

(dx)2 + (dy)2

.

dx

O escrito de otro modo,

Figura 3: Deducci´n de la ecuaci´n de la cate-oo

naria.

d2 y

=c 1+

dx2

dy

dx

2

.

Sea (x, y) un punto arbitrario del cable (por

Por supuesto, esto es una ecuaci´n de segundoo

conveniencia lo situamos en el tramo positivo

orden; pero haciendo el cambio v = dy/dx, se

de las x; en otro caso, el razonamiento es com-

convierte en

pletamente igual) y pensemos en las fuerzas

dv

que act´an en el trozo de cable desde el pun-u

= c 1 + v2.(2)

dxto de altura m´ınima hasta (x, y):

Problema 1: Resuelva la ecuaci´n (2). Useo

El peso P. Si m es la masa y s es la lon- ahora y (0) = 0 para deducir que la ecuaci´n deo

gitud del trozo considerado del cable, se la catenaria es

tiene m = ρs y por tanto, P = (0, −gρs),

1

donde g es la aceleraci´n terrestre.oy(x) = cosh(cx) + B,(3)

c

La fuerza T0 que ejerce la parte izquierda donde B es una constante arbitraria. ¿Qu´ sig-e

del cable sobre el punto de altura m´ıni- nificado f´ısico o geom´trico posee B?e

ma. Se tiene T0 = (− T0 , 0)

El siguiente problema propone otra manera

La fuerza T que ejerce la parte derecha de resolver la ecuaci´n (2) usando la teor´oıa

del cable sobre el extremo derecho (x, y) de las ecuaciones diferenciales lineales de or-

del trozo de cable considerado. Obser- den 2:

vando la figura 3 se tiene que T =

T (cos θ, sen θ).

Problema 2: Eleve al cuadrado (2) y derive

esta nueva ecuaci´n respecto a x para obtenero

La condici´n de equilibrio es P + T0 + T = 0. d2 v/dx2 = c2 x. Halle ahora v = v(x) y obtengao

O componente a componente:

de nuevo (3).

T0 = T cos θ,

gρs = T sen θ.

La catenaria cumple otra importante

propiedad: de entre todas las curvas de longi-

tud dada, la que minimiza la energ´ potencialıa

es precisamente la catenaria. Si y : [−a, a] →

(1) IR es la funci´n que describe la forma de lao

2

Dividiendo ambas expresiones.

tan θ =

gρs

.

T0

catenaria (v´ase la figura 3), ρ es la densidadeEn 1694, Leibniz y Jean Bernouilli estu-

del cable y g es la aceleraci´n de terrestre, la diaron el problema de encontrar la familiao

energ´ potencial de un elemento infinitesimal de curvas que cortan con un ´ngulo dado aıaa

de masa, dm, esuna familia de curvas dadas. Jean Bernouilli

se˜al´ que este problema es importante paran o

2,dE = gydm = gyρds = gρy 1 + ydeterminar las trayectorias de los rayos de luz

que recorren un medio no uniforme porque di-

donde ds es el elemento diferencial de longitud chos rayos cortan ortogonalmente los llama-

de arco. La catenaria minimiza

dos frentes de luz. El problema fue resuelto

ade forma general e independiente por Leibniz

2 dx,gρy(x) 1 + y (x)y por Jean Bernouilli en 1698. El m´todo em-e

−a

pleado es el mismo que se usa hoy en d´ıa.

Jean Bernouilli plante´ el problema de de-osi la longitud de la cuerda es constante, es

terminar el movimiento de un proyectil en undecir

medio cuya resistencia es proporcional a una

a

potencia de la velocidad. La ecuaci´n diferen-o1 + y (x)2 dx es constante.

−acial es en este caso

El estudio de funciones minimizantes

llev´ al descubrimiento del c´lculo de varia-oa

ciones por Euler a mediados del siglo XVIII

y Lagrange a finales del siglo XVIII mejor´ yo

ampli´ los m´todos de Euler.oe

Por otra parte, acabamos de ver que la cate-

naria se puede obtener por dos caminos dis-

tintos: a partir de las leyes de Newton o co-

mo la curva que minimiza una cierta magni-

tud f´ısica. Se vio que muchos problemas f´ısicos

poseen esta dualidad. La reformulaci´n de laso

leyes f´ısicas por medio de funciones minimi-

zantes fue hecha por Hamilton a mediados del

siglo XIX.

Leibniz descubri´ la t´cnica de separaci´noeo

de variables en 1691: Indic´ c´mo se resuelveo o

y

dx

= f (x)g(y).

dy

m

dv

= mg − kv n .

dt

(4)

Problema 3: Resuelva la ecuaci´n (4) cuandoo

n = 2. Deduzca que en este caso se tiene

v(t) = a

f (t) + 1

,

f (t) − 1

donde a = mg/k y f (t) = e2(t+C)/a , sien-

...