Curso De Matlab Nivel Basico

CURSO DE MATLAB NIVEL BASICO

Objetivo

Proporcionar a los interesados los conocimientos básicos para usar el entorno de MATLAB para solución de problemas de ingeniería.

Contenido

Acerca de Matlab. 3

Ambiente Matlab 9

1. Aritmética 13

1.1 Variables en Matlab y operaciones básicas 13

1.2 Funciones trigonométricas y logaritmos 28

1.3 Graficar funciones 35

2. Algebra Lineal 44

2.1 Algebra matricial. Operaciones básicas con matrices 44

2.2 Determinantes. 49

2.3 Producto cruz 50

2.4 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 53

3. Calculo 58

3.1 Resolución de límites 58

3.2 Primera, segunda y tercera derivada 60

3.3 Derivación numérica 63

3.4 Integrales definidas y no definidas 65

Bibliografía 68

Acerca de Matlab.

Definición Matlab es un lenguaje de alto nivel orientado al desarrollo de cálculos técnicos. Integra cálculo, visualización y programación en un entorno interactivo de fácil manejo. Los problemas y las soluciones se expresan en la notación matemática habitual.

El elemento básico de información es una matriz a la que no hace falta asignar dimensiones con anterioridad. Por tanto, pueden abordarse problemas que requieren una formulación vectorial o matricial de un modo más fácil que en un lenguaje tipo FORTRAN o C. El nombre MATLAB es una abreviatura de Matriz Laboratorio.

MATLAB (Matrix Laboratory) es un programa interactivo de uso general en Ciencias e Ingeniería. La interacción se realiza mediante instrucciones (comandos), y también mediante funciones y programas (scripts). Los objetos básicos con los cuales opera MATLAB son matrices. La especificación y asignación de cada variable la realiza MATLAB en forma dinámica y eficiente, por lo que no son necesarias las declaraciones de variables de algunos lenguajes de computación convencionales

Características de MatLab • Cálculo numérico rápido y con alta precisión

• Manejo simbólico

• Graficación y visualización avanzada

• Programación mediante un lenguaje de alto nivel

• Programación estructurada y orientada a objetos

• Soporte básico para diseño de interfaz gráfica

• Extensa biblioteca de funciones

• Aplicaciones especializadas para algunas ramas de ciencias e ingeniería (toolboxes)

Operación

• Simple y eficiente

• Interactivo

• Sistema de ayuda en línea

• Interacción con otros entornos

Uso de matrices MatLab emplea matrices porque con ellas se puede describir infinidad de cosas de una forma altamente flexible y matemáticamente eficiente. Una matriz de pixeles puede ser una imagen o una película. Una matriz de fluctuaciones de una señal puede ser un sonido o una voz humana. Y tal vez más significativamente, una matriz puede describir una relación lineal entre los componentes de un modelo matemático. En este último sentido, una matriz puede describir el comportamiento de un sistema extremadamente complejo. Por ejemplo una matriz puede representar el vuelo de un avión a 40.000 pies de altura, o un filtro digital de procesamiento de señales.

Origen de MatLab MatLab fue originalmente desarrollado en lenguaje FORTRAN para ser usado en computadoras mainframe. Fue el resultado de los proyectos Linpack y Eispack desarrollados en el Argonne National Laboratory. Su nombre proviene de MATrix LABoratory. Al pasar de los años fue complementado y reimplementado en lenguaje C. Actualmente la licencia de MatLab es propiedad de MathWorks Inc .

Plataformas MatLab está disponible para una amplio número de plataformas: estaciones de trabajo SUN, Apollo, VAXstation y HP, VAX, MicroVAX, Gould, Apple Macintosh y PC AT compatibles 80386 o superiores. Opera bajo sistemas operativos UNIX, Macintosh y Windows. como un anexo a MatLab y que interactua con él en lenguaje de MatLab y lenguaje de bajo nivel C. Simulink es usado para simulación modelado no lineal avanzado. Se ofrecen además numerosas herramientas especiales en "Toolboxes" para resolver problemas de aplicaciones específicas, por ejemplo control, procesamiento de señales, redes neurales, etc. Estas herramientas son colecciones de rutinas escritas en MatLab.

Librería de aplicaciones Optimización toolbox

El toolbox de optimización consta de un conjunto de funciones que resuelven problemas de extremos, con o sin condiciones, de funciones reales las cuales son generalmente multivariables y no lineales. Asimismo, posee funciones para la resolución de algunos tipos de problemas matriciales en extremos.

Resulta conveniente para una comprensión y mejor manejo de la toolbox poseer conocimientos básicos previos de análisis de funciones reales, matrices y teoría de extremos.

Algunas de las áreas básicas que cubre este toolbox para MATLAB son las siguientes:

• Cálculo de un extremo local (máximo o mínimo) de una función real f(x), en general multivariables y no lineal, sin imponer ninguna restricción o condición a la solución. Como caso particular, se incluye una rutina especial para problemas de mínimos cuadrados no lineales.

• Cálculo de un extremo local (máximo o mínimo) de una función real f(x), en general multivariables y no lineal, condicionado a que la solución satisfaga ciertas condiciones de desigualdad (g(x)<=0) y/o igualdad (g(x)=0).

• Problemas de aproximación a un conjunto de objetivos.

• Cálculo de soluciones de un sistema de ecuaciones continuas y, en general, no lineales.

o Solución de problemas mínima.

o Programación lineal.

o Programación cuadrática.

o Problemas de mínimos cuadrados no negativos.

Image processing toolbox

Este Toolbox proporciona a MATLAB de un conjunto de funciones que amplía las capacidades del producto para realizar desarrollo de aplicaciones y de nuevos algoritmos en el campo del proceso y análisis de imagenes. El entorno matemático y de creación de MATLAB es ideal para el procesado de imágenes, ya que estas imágenes son, al fin y al cabo, matrices. Este toolbox incorpora funciones para:

• Diseño de filtros.

• Mejora y retocado de imágenes.

• Análisis y estadística de imágenes.

• Operaciones morfológicas, geométricas y de color.

• Transformaciones 2D.

El proceso de imágenes es un campo de trabajo absolutamente crucial para aquellos colectivos e industrias que estén trabajando en áreas como diagnóstico médico, astronomía, geofísica, ciencia medioambientales, análisis de datos en laboratorios, inspección industrial, etc. Los programas actuales de procesado y análisis de imágenes se clasifican actualmente en dos categorías: librerías de bajo nivel para programadores profesionales y paquetes de aplicación con capacidades limitadas de personalización. Ambos tipos de aplicaciones están, generalmente, pensados para ta reas básicas de visualización de datos y 'rendering'. Sin embargo, muchos de ellos adolecen de la posibilidad de efectuar

análisis numéricos de los mismos. El Image Processing Toolbox entra dentro de la categoría de familias de funciones que, desde el ento rno de trabajo de

Iimage processing toolbox

Este Toolbox proporciona a MATLAB de un conjunto de funciones que amplia las capacidades del producto para realizar desarrollo de aplicaciones y de nuevos algoritmos en el campo del proceso y análisis de imagenes. El entorno matemático y de creación de MATLAB es ideal para el procesado de imágenes, ya que estas imágenes son, al fin y al cabo, matrices. Este toolbox incorpora funciones para:

• Diseño de filtros.

• Mejora y retocado de imágenes.

• Análisis y estadística de imágenes.

• Operaciones morfológicas, geométricas y de color.

• Transformaciones 2D.

El proceso de imágenes es un campo de trabajo absolutamente crucial para aquellos colectivos e ndustrias que estén trabajando en áreas como diagnóstico médico, astronomía, geofísica, ciencia medioambientales, análisis de datos en laboratorios, inspección industrial, etc. Los programas actuales de procesado y análisis de imágenes se clasifican actualmente en dos categorías: librerías de bajo nivel para programadores profesionales y paquetes de aplicación con capacidades limitadas de personalización. Ambos tipos de aplicaciones están, generalmente, pensados para ta reas básicas de isualización de datos y 'rendering'. Sin embargo, muchos de ellos adolecen de la posibilidad de efectuar

análisis numéricos de los mismos.

Neural Network Toolbox Este toolbox proporciona funciones para el diseño, inicialización, simulación y entrenamiento de los modelos neuronales de uso más extendido en la actualidad: Perceptrón, redes lineales, redes de retropropagación, redes de base radial, aprendizaje asociativo y competitivo, aplicaciones autoorganizativas, aprendizaje de cuantización vectorial, redes de Elman y redes de Hopfield.

Mediante la inclusión de un amplio abanico de funciones y procedimientos escritos para MATLAB, el usuario puede mediante el Neural Network Toolbox efectuar el diseño de arquitecturas complejas, combinando los modelos que ya estan proporcionados por defecto en el toolbox. Asimismo, el usuario puede definir sus propias funciones de transferencia e inicialización, reglas de aprendizaje, funciones de entrenamiento y estimación de error para usarlas posteriormente con las funciones básicas.

El toolbox, aporta las facilidades y prestaciones gráficas de MATLAB para el estudio del comportamiento de las redes: visualización gráfica de la matriz de pesos y vector de desplazamiento mediante diagramas de Hinton, representación de errores a lo largo del entrenamiento, mapas de superficie de error en función de pesos y vector de desplazamiento, etc. Estos gráficos resultan muy útiles en el estudio de la convergencia y estabilidad de los algoritmos de aprendizaje. Este toolbox incluye un manual de introducción al campo de las redes neuronales junto con una colección de demostraciones y aplicaciones muy didácticas, útiles para el estudio y la profundización en las cuestiones fundamentales de los paradigmas de redes neuronales básicos. Asimismo, se proporcionan las referencias bibliográficas más significativas referidas a los distintos modelos que aparecen en la aplicación.

Non linear control design toolbox

Se trata del primer producto comercialmente disponible en la actualidad para el diseño de controladores automáticos en entornos de sistemas no lineales. Este nuevo toolbox está pensado para ser utilizado exhaustivamente por ingenieros que diseñan controladores para industrias avanzadas, destacando el sector del automóvil, ingenieria aeroespacial, control de procesos y empresas petroquímicas. Según indica Jim Tung, Vicepresidente del área de desarrollo de The MathWorks Group, Inc. "El proceso de aproximación tradicional en el diseño de controladores en sistemas no lineales ha sido hasta la fecha linealizarlos de algún modo para aplicar posteriomente un método de diseño lineal que requiere de importantes ajustes manuales. El toolbox NCD permite por primera vez a los ingenieros de control diseñar directamente sus controladores en un ambiente no lineal, obviando la aproximación lineal y otros procedimientos auxiliares que antes se necesitaban de modo imperativo. Los resultados ahora son de elevada calidad, controladores más robustos y un ciclo de diseño mucho más rápido.

Nag foundation toolbox

Este toolbox proporciona un acceso interactivo, desde dentro de MATLAB, a un amplio conjunto de funciones matemáticas y estadísticas contenidas en las clásicas NAG Fortran Libraries de la empresa The Numerical Algorithms Group Incorpora más de 200 ficheros M, los cuales cubren un amplio espectro de áreas de interés, entre las que cabe destacar optimización, ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, cuadratura, estadística, etc. La NAG Foundation Toolbox añade también rutinas concretas para campos específicos tales como la resolución de problemas con condiciones de contorno, problemas de cuadratura adaptativa multidimensional, ajuste de curvas y superficies y el acceso a los algoritmos LAPACK para la resolución de ecuaciones lineales. Los nombre de las funciones han sido directamente tomados de las especificaciones de función clásica que añade The Numerical Algorithms Group para sus librerías.

Como resultado de esto, aquellos usuarios de las librerías Fortran de NAG que a la vez sean usuarios de MATLAB, encontraran bastante cómodo acceder a las rutinas NAG utilizando la nomenclatura original.

La NAG Foundation Toolbox es resultado de la colaboración corporativa que actualmente están llevando a cabo The MathWorks Group y The Numerical Algoriths Group para proporcionar un rápido acceso desde MATLAB a un importante de rutinas matemáticas contenidas en la NAG Foundation Library.

Actualmente, este toolbox incorpora 250 rutinas matemáticas. Algunas de las áreas de cobertura de la NAG Foundation Toolbox son las siguientes:

• Ceros de polinomios

• Raíces de una o más ecuaciones de tipo trascendental.

• Suma de series.

• Cuadraturas.

• Ecuaciones diferenciales ordinarias.

• Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

• Estadística no paramétrica.

• Análisis de series temporales.

• Rutinas de clasificación.

• Aproximación de funciones especiales.

• Aproximación de curvas y superficies.

• Maximización y minimización de funciones.

• Factorización de matrices.

• Valores y vectores propios.

• Resolución de ecuaciones lineales simultáneas.

• Ecuaciones lineales (LAPACK).

• Estadística básica.

• Análisis de correlación y regresiones.

• Métodos multivariantes.

• Generación de números aleatorios.

Ambiente Matlab

Inicio Usar MATLAB por primera vez es fácil; dominarlo puede tomar años. En este capítulo se introducirá al lector al ambiente de MATLAB y se le mostrará cómo efectuar cálculos matemáticos básicos. Después de leer este capítulo, será capaz de empezar a usar MATLAB para hacer sus tareas o en el trabajo. Por supuesto, conforme complete el resto de los capítulos podrá hacer más cosas.

Dado que el procedimiento para instalar MATLAB depende de su sistema operativo y del ambiente de la computadora, se supondrá que el lector ya instaló

MATLAB en su computadora o que trabaja en un laboratorio de computación donde ya se instaló MATLAB.

Ventanas de Matlab

Command Windows Ventana de comandos (command Windows)

La ventana de comandos se localiza en el lado derecho de la vista por defecto de la pantalla de MATLAB. La ventana de comandos ofrece un ambiente similar a una memoria de trabajo auxiliar (scratch pad). El empleo de la ventana de comandos le permite guardar los valores que calcule, mas no los comandos que usó para generarlos.

Command History Historia de comandos (command history)

La ventana de historia de comandos registra los comandos que se escriben en la ventana de comandos. Cuando sale de MATLAB, o cuando escribe el comando clc, la ventana de comandos se limpia (clear). Sin embargo, la ventana de historia de comandos conserva una lista de todos sus comandos. También puede limpiar la historia de comandos con el menú edit. Si trabaja en una computadora pública, entonces, como medida de seguridad, las opciones de MATLAB por defecto se pueden establecer de modo que limpie la historia cuando salga del programa. Si introdujo los comandos de muestra anteriores, observará que se repiten en la ventana de historia de comandos. Esta ventana es valiosa por varias razones, dos de las cuales son: porque permite revisar sesiones anteriores de MATLAB y porque se puede usar para transferir comandos a la ventana de comandos.

Workspace Ventana del área de trabajo (workspace)

La ventana del área de trabajo le mantiene informado de las variables que usted define conforme ejecuta comandos en la ventana de comandos. Si ha hecho los ejemplos, la ventana del área de trabajo debe mostrar sólo una variable, ans, y decir que tiene un valor de 25 y que es un arreglo doble:

Haga que la ventana del área de trabajo diga algo más acerca de esta variable al hacer clic con el botón derecho sobre la barra con las etiquetas de las columnas. Revise size (tamaño) y bytes, además de name (nombre), value (valor) y class (clase).

Current Directory Ventana de directorio actual (current directory)

La ventana de directorio actual lista todos los archivos en una carpeta de la computadora llamada directorio actual. Cuando MATLAB ingresa a archivos o guarda información, usa el directorio actual a menos que se diga algo diferente. La ubicación por defecto del directorio actual varía con su versión del software y con cómo se instaló. Sin embargo, el directorio actual se cita en la parte superior de la ventana principal. El directorio actual se puede cambiar al seleccionar otro directorio de la lista desplegable que se ubica junto a la lista de directorio o al navegar entre los archivos de su computadora. La navegación se lleva a cabo con el botón browse, que se ubica junto a la lista desplegable.

Document Windows Ventana de documento (document window)

Hacer doble clic sobre cualquier variable mencionada en la ventana del área de trabajo lanza automáticamente una ventana de documento que contiene el array editor (editor de arreglos).

Los valores que se almacenan en la variable se despliegan en un formato de hoja de cálculo. Puede cambiar los valores en el editor de arreglos o puede agregar nuevos valores.

1. Aritmética

1.1 Variables en Matlab y operaciones básicas

Operaciones aritméticas básicas Matlab realiza las siguientes operaciones aritméticas básicas:

Operación Símbolo

Suma +

Resta -

Multiplicación *

División /

Potencia ^

Toda expresión es evaluada respetando las reglas usuales de precedencia: potencia, multiplicación y división y finalmente suma y resta, como así también la ubicación de los paréntesis dentro de la expresión.

Usando matlab.

>> %Operaciones básicas

>> a=4; b=7; c=8; d=15;

>> Suma=a+b

Suma =

11

>> Resta=c-d

Resta =

-7

>> division=b/c

division =

0.8750

>> potencia=a^b

potencia =

16384

>> multiplicacion=a*d

multiplicacion =

60

Ejemplo:

Actividades

Variables

Operaciones de arreglos

Ejercicio de practica

Ejemplo:

Formato de despliegue

En MATLAB están disponibles algunos formatos de despliegue. No importa cuál formato de despliegue elija, MATLAB usa en sus cálculos números punto flotante de doble precisión.

Exactamente cuántos dígitos se usan depende de su cálculo. Sin embargo, cambiar el formato de despliegue no cambia la precisión de sus resultados. A diferencia de algunos otros programas, MATLAB maneja los números enteros y decimales como números de punto flotante.

Cuando los elementos de una matriz se despliegan en MATLAB, los enteros siempre se imprimen sin punto decimal. No obstante, los valores con fracciones decimales se imprimen en el formato corto por defecto que muestra cuatro dígitos decimales. Por ende,

A = 5

Regresa

A = 5

Pero

A = 5.1

Regresa

A = 5.1000

Y

A = 51.1

Regresa

A = 51.1000

Formatos de despliegue numérico.

Caracteres especiales

Comandos y funciones

ejercicios

Funciones matemáticas comunes

Funciones de redondeo

Funciones que se usan en matemáticas discretas

Aplicación Probablemente ha experimentado estar de pie en lo alto de una colina o montaña y sentido que puede ver hasta el infinito. ¿Realmente cuán lejos puede ver? Depende de la altura de la montaña y del radio de la Tierra, como se muestra en la figura. La distancia hasta el horizonte es muy diferente en la Luna que en la tierra, porque el radio es diferente para cada una.

Con el teorema de Pitágoras

A partir de esta última expresión, encuentre la distancia hasta el horizonte en la Tierra y en la luna, para montañas desde 0 hasta 8000 metros. (El monte Everest tiene 8850 metros de alto). El radio de la tierra es 6378 km y el de la luna es de 1737 km. Encontrar la distancia hasta el horizonte desde lo alto de una montaña en la Luna y en la tierra.

Solución:

Datos

Radio de la Luna = 1737 km

Radio de la Tierra = 6378 km

Altura de las montañas = 0 a 8000 metros

Sustituyendo en la formula:

Con el radio de la Tierra y una montaña de 8000 metros se obtiene

Con el radio de la Luna y una montaña de 8000 metros se obtiene

Desarrolle la solución en Matlab

1.2 Funciones trigonométricas y logaritmos

Conversiones

Funciones trigonométricas

Ejemplos

Ejercicios

Funciones

Ejemplos

Uso de funciones trigonométricas Suponga que la fuerza debida a la gravedad en este globo particular es de 100 N, dirigida hacia abajo. Suponga aún más que la fuerza boyante es de 200 N, dirigida hacia arriba. Finalmente, suponga que el viento empuja sobre el globo con una fuerza de 50 N, en un ángulo de 30 grados desde la horizontal.

Encuentre la fuerza resultante sobre el globo. Considere las fuerzas debidas a gravedad, flotabilidad y el viento.

Usando Matlab

>> %Ejemplo del globo

>> F=[100 200 50]; %Define las fuerzas

>> theta=[-90 90 30]; %Define los angulos

>> theta=theta*pi/180; %Convierte angulos a radianes

>> FX=F.*cos(theta); FY=F.*sin(theta); %Componentes x & y

>> FXtotal=sum(FX); FYtotal=sum(FY); %suma de los componentes

>> result_angulo=atan(FYtotal/FXtotal); %angulo resultante

>> result_grado=result_angulo*180/pi %Angulo resultante en grado

result_grado =

70.8934

>> Ftotal=FXtotal/cos(result_angulo)

Ftotal =

132.2876

Números complejos y números reales

Aplicación La ley de los gases ideales es la ecuación de estado del gas ideal, un gas hipotético formado por particulas puntuales, sin atracción ni repulsión entre ellas y cuyos choques son perfectamente elasticos (concervación de momento y energia cinetica).

La ecuación que describe normalmente la relación entre la presión, el volumen, la temperatura y la cantidad (en moles) de un gas ideal es:

Donde:

P = Presión absoluta

V = volumen

n = moles de gas

R = Constante universal de los gases ideales

T = Temperatura absoluta

Si tenemos 1.0 mol de gas a 1.0 atm de presión a 0°C (273.15K), ¿Cuál será el volumen?

1) Despejar ecuación

PV = nRT

V = nRT/P

2) Introducir las variables a Matlab

>> clear

>> n=1; %mol

>> R=0.0821; % Atm.L/mol K

>> P=1.0; %atm

>> T=273.15; % K

>> V=(n*R*T)/P

V =

22.4256

1.3 Graficar funciones

Graficación básica

Títulos, etiquetas y retículas.

Funciones de Graficación básica.

Ejemplo: Grafiquese la siguiente función con x = -5 hasta x = 5

Ejemplo:

Grafiquese la siguiente función con x = -10 hasta x = 10

la función plot nos permite otras opciones como superponer gráficas sobre los mismos ejes:

Ejemplo:

Ejemplo: Grafiquese las siguientes funciones sobre los mismos ejes. con x = -10 hasta x = 10, con h = 0.1

Usando MatLab:

>> clear

>> x=-10:0.1:10;

>> y=x.^2;

>> z=x.^3;

>> plot(x,y,x,z)

>> xlabel('Eje x')

>> ylabel('Eje y')

>> title('Grafica de dos funciones')

Ejemplo Graficar las dos funciones trigonometricas. con valor de x =0 hasta x = 2*pi, con h = pi/100

Usando MatLab:

>> t=0:pi/100:2*pi; %intervalo

>> y1=sin(t); %primera funcion

>> plot(t,y1,'g') % Grafica de la primera funcion, color verde

>> y2=cos(t); %segunda funcion

>> hold on %mantiene fija la grafica

>> plot(t,y2,'r') %grafica de la segunda funcion, color rojo

>> xlabel('Tiempo') % Etiqueta del eje x

>> ylabel('Magnitud') %etiqueta eje Y

>> title('Grafica de dos funciones trigonometricas')

Matlab puede exportar grafica en diferentes formatos de manera que los puedas incluir facilmente en los reportes: EPS (Encapsulated PostScript), PDF (Portable document Format) and JPEG (Joint Photografic Experts Group).

Los comandos xlabel (‘Leyenda eje x’), ylabel(‘Leyenda eje Y’) y title (‘mi titulo’) puede usarse para nombrar las correspondientes partes de la gráfca. Se debe encerrar los titulo en apostrofe que indica una cuerda de texto).

El comando legend(‘Data1’, ‘Data2’) es usado para etiquetar diferentes conjunto de datos cuando exsisten múltiples conjunto de datos en una sola grafica.

Puedes especificar un estilo de linea y color dentro del comando plot. Por ejemplo, Plot(x1, y1, ‘b-‘, x2, y2, ‘r—‘). Este comando hara el prier set de color azul sólido y el segundo set una linea segmentada de color rojo.

Gráficos 3D También podemos crear graficas en 3 dimensiones, se trata de extender la orden plot (2-D) a plot (3-D) donde el formato sera igual pero los datos estaran en tripletes:

Ejemplo:

Superficie de malla Superficie de malla.

El comando [x, Y] = meshgrid(x, y) crea una matriz X cuyas filas son copias del vector x y una matriz Y cuyas columnas son copias del vector y. Para generar la gráfica de malla se usa la orden mesh(x, y, z), mesh acepta un argumento opcional para controlar los colores.

Tambien puede tomar una matriz simple como argumento: mesh (z).

Ejercicio Grafica las siguientes curvas 3D usando la función plot3

a) Hélice

Usando matlab

>> clear

>> c=5; t=linspace(0,10*pi,100);

>> x=sin(t./(2*c)).*cos(t);

>> y=sin(t./(2*c)).*sin(t);

>> z=cos(t./(2*c));

>> plot3(x,y,z)

Ejercicio Grafica la siguiente superficie usando la función surf

a) Superficie de seno

Usando MatLab

>> clear

>> u=linspace(0,2*pi,30);

>> v=linspace(0,2*pi,30);

>> [u,v]=meshgrid(u,v);

>> x=sin(u); y=sin(v); z=sin(u+v);

>> mesh(x,y,z)

>> surf(x,y,z)

2. Algebra Lineal

2.1 Algebra matricial. Operaciones básicas con matrices

Transpuesta

Usando matlab

A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

>> A'

ans =

1 4 7 10

2 5 8 11

3 6 9 12

Producto punto

Multiplicación matricial La multiplicación matricial es similar al producto punto

>> A=[1 2 3];

>> B=[3; 4; 5];

>> A*B

ans =

26

Ejemplo >> A=[1 2 3 4; 5 6 7 8]

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

>> B=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 1 5 7]

B =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 5 7

>> A*B

ans =

34 56 70

86 136 170

Ejercicios

Inverso de una matriz

Ejemplo Determine el inverso de una matriz cuadrada. Usando A^-1. Y despues compare con inv(A). Despues realice (A^-1)A = I

>> clear

>> A=[8 1 6; 3 5 7; 4 9 2];

>> A^-1

ans =

0.1472 -0.1444 0.0639

-0.0611 0.0222 0.1056

-0.0194 0.1889 -0.1028

>> inv(A)

ans =

0.1472 -0.1444 0.0639

-0.0611 0.0222 0.1056

-0.0194 0.1889 -0.1028

>> (A^-1)*A

ans =

1.0000 0 -0.0000

0 1.0000 0

0 0.0000 1.0000

Ejemplo Realices las operaciones basicas con las siguentes matrices

>> %Operaciones Basicas

>> A=[1 2 3; 4 5 6];

>> B=[3 4 5; 7 8 9];

>> A + B

ans =

4 6 8

11 13 15

>> B - A

ans =

2 2 2

3 3 3

Aplicación

Aplicación

2.2 Determinantes.

Ejemplo Determine la determinate de las siguientes matrices

Usando Matlab

>> clear all

>> A=[1 2; 3 4];

>> B=[1 5 4; 6 2 9; 7 8 3];

>> det(A)

ans =

-2

>> det(B)

ans =

295

2.3 Producto cruz

En Matlab el producto cruz se encuentra al usar la función cross, que requiere dos entradas: los vectores A y B. Cada uno de estos valores Matlab debe tener tres elementos, pues representan los componetentes vectoriales en el espacio. Por ejemplo, se puede tener:

Usando matlab

>> A=[1 2 3];

>> B=[4 5 6];

>> cross(A,B)

ans =

-3 6 -3

Aplicación

Usando matlab

>> %Momento en torno a un punto pivote

>> %Defina el vector posicion

>> r=[12/sqrt(2),12/sqrt(2),0];

>> F = [-100, 20, 0]; %defina el vector fuerza

>> moment=cross(r,F) %Calcule el momento

moment =

1.0e+003 *

0 0 1.0182

2.4 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplo >> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1];

>> B=[10; 5; -1];

>> X=A\B

X =

-2.0000

5.0000

-6.0000

Aplicación Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras. Se requiere cuatro clases de recursos – horas-hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos – en la producción. En el cuadro siguiente se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 Kg. de metal, 970 Kg. de plástico y 601 componentes electrónicos, ¿Cuántas computadoras de cada tipo se puede construir por día?

Aplicación Con los datos del diagrama siguiente 8 donde los porcentajes están dados en peso) , encuentre posibles valores de la corriente , si

Aplicación Se necesitan tres ingredientes distintos, A, B y C, para producir determinada sustancia. Pero deben disolverse primero en agua, antes de ponerlos a reaccionar para producir la sustancia. La solución que contiene A con 1.5 gramos por centímetros cúbicos (g / cm3), combinada con la solución B cuya concentración es de 3.6 g / cm3 y con la solución C con 5.3 g / cm3 forma 25.07 g de la sustancia. Si las proporciones de A, B y C en esas soluciones se cambian a 2.5, 4.3 y 2.4 g / cm3, respectivamente (permaneciendo iguales los volúmenes), se obtienen 22.36 g de la sustancia. Por último, si las proporciones se cambian a 2.7, 5.5 y 3.2 g / cm3, respectivamente, se producen 28.14 g de la sustancia. ¿Cuáles son los volúmenes, en centímetros cúbicos, de las soluciones que contienen A, B y C?

Solución:

Aplicación

>> A=[1, 0.9; 0, 0.1];

>> B=[96; 4];

>> X=A\B

X =

60

40

O bien

>> inv(A)*B

ans =

60

40

3. Calculo

3.1 Resolución de límites

Ejemplo

>> syms h n x

>> limit((cos(x+h)-cos(x))/h,h,0)

ans =

-sin(x)

Ejemplo

>> syms n

>> limit(((2*n-3)/(3*n-7))^4,inf)

ans =

16/81

Ejemplo

>> syms x

>> limit(x/abs(x),x,0,'left')

ans =

-1

Ejemplo

>> limit(x/abs(x),x,0,'right')

ans =

1

Ejemplo Hallar el limite de la siguiente función

>> syms x a

>> limit((x-(2+x)^(1/2))/(-3+(1+4*x)^(1/2)),2)

ans =

9/8

Ejemplo Hallar el limite de la siguiente función

>> syms x a

>> limit(sin(a*x)^2/x^2,x,0)

ans =

a^2

3.2 Primera, segunda y tercera derivada

Ejemplo Hallar la derivada con respecto a x de f(x) = sen(5x)

Ejemplo Hallar la derivada de la siguiente función

Ejemplo

Ejemplo Determine la primera, segunda y tercera derivada de la siguiente función

Ejemplo

>> syms x y

>> f=sin(x*y)+cos(x*y^2);

>> diff(f,x)

ans =

y*cos(x*y) - y^2*sin(x*y^2)

>> syms x y

>> f=sin(x*y)+cos(x*y^2);

>> diff(f,y)

ans =

x*cos(x*y) - 2*x*y*sin(x*y^2)

>> syms x y

>> f=sin(x*y)+cos(x*y^2);

>> diff(diff(f,x),x)

ans =

- y^4*cos(x*y^2) - y^2*sin(x*y)

>> syms x y

>> f=sin(x*y)+cos(x*y^2);

>> diff(diff(f,y),y)

ans =

- 2*x*sin(x*y^2) - x^2*sin(x*y) - 4*x^2*y^2*cos(x*y^2)

>> syms x y

>> f=sin(x*y)+cos(x*y^2);

>> diff(diff(f,x),y)

ans =

cos(x*y) - 2*y*sin(x*y^2) - x*y*sin(x*y) - 2*x*y^3*cos(x*y^2)

Ejemplo: Derivar la función

Otra forma

3.3 Derivación numérica

Ejemplo

Usando h = 0.25

Ejemplo La ecuación de Van der Walls para un gmol de CO2 es

Donde

3.4 Integrales definidas y no definidas

Ejemplo Calcular la integral de la siguiente función.

Ejemplo Calcular la integral de la siguiente función.

a = 0 ; b = pi/2

Ejemplo Calcular la integral

>> syms a positive

>> syms x

>> f=exp(-a*x^2);

>> int(f,x,-inf,inf)

ans =

pi^(1/2)/a^(1/2)

Ejemplo Resuelva la siguiente integral

>> syms a b x

>> int(a*log(b*x),x)

ans =

a*x*(log(b*x) - 1)

Ejemplo Resuelva la siguiente integral

>> syms a x y

>> int(int(a*log(x*y),x),y)

ans =

a*x*y*(log(x*y) - 2)

Ejemplo Resuelva la siguiente integral

Usando MatLab

>> clear

>> syms x y

>> f=exp(x+y);

>> g=int(f,x,2,5)

g =

exp(2)*exp(y)*(exp(3) - 1)

>> int_final=int(g,y,3,6)

int_final =

exp(5)*(exp(3) - 1)^2

Ejemplo Determine la siguiente integral

>> syms x y

>> f=sin(x+y);

>> g=int(f,x,0,pi/2);

>> int_final=int(g,y,0,pi/2)

int_final =

2

Bibliografía

López, C. P. (2012). Matlab y sus aplicaciones en las ciencias y en la ingeniería. Madrid: Prentice Hall.

Moore, H. (2007). Matlab para ingenieros. Mexico DF: Prentice Hall.

http://pentagono.uniandes.edu.co/tutorial/Matlab/tutorial_matlab.pdf

http://www.ceduvirt.com/resources/TutorialMatlab.pdf

www.ceduvirt.com/resources/CeduvirtMatlab.pdf‎

http://www.sepi.esimeazc.ipn.mx/Material/tutorialMatlab.pdf

http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lep/garcia_b_s/capitulo5.pdf

http://grupo.unavirtual.una.ac.cr/mahara/artefact/file/download.php?file=5478&view=1085

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