Defelxion De Vigas

Deflexión de una viga

Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se flexionan o distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Según veremos a continuación, esta flexión y(x) está determinada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden, relativamente sencilla. Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama eje de simetría.

Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetría sufre una distorsión y la curva que une los centroides de las secciones transversales se llama curva de flexión o curva elástica o simplemente elástica. La curva de flexión describe la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que la flexión ( o flecha) y(x)m medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría de la elasticidad se demuestra que el momento flexionante M(x) en un punto x a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación

Además, el momento flexionante M(x) es proporcional a la curvatura, κ , de la curva elástica

donde E e I son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversal de ésta , respecto de un eje llamado eje neutro. El producto EI se denomina rigidez a la flexión.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA CURVA DE DEFLEXIÓN

Deformada o curva de deflexión de la viga y deflexión (+) hacia arriba

10.2. DEFLEXIONES POR INTEGRACIÓN - ECUACIÓN ELÁSTICA.

o Para cada región de la viga sustituimos la expresión de M en la ecuación diferencial y la integramos para obtener la pendiente y´, se obtienen además unas constantes.

o Se integra cada ecuación de pendiente para obtener la deflexión correspondiente y; sale una nueva constante.

Las constantes se determinan a partir de tres tipos de condiciones.

a) Condiciones de frontera: Se refiere a las deflexiones y pendientes en los soportes de una viga por ejemplo en un apoyo simple y=0 y en un empotramiento y=0; y´1 = 0

b) Condiciones de continuidad. Se dan en los puntos donde las regiones de integración confluyen o la deflexión Yc es igual tanto para la parte izquierda como para la derecha.

c) Condiciones de Simetría: por ejemplo: una viga que soporta una carga uniforme en toda la longitud, la pendiente en el centro de la viga debe ser cero.

Ejemplo

Determine la ecuación de la curva de deflexión.

θ max y ángulos de rotación θ A y θ Ben los apoyos

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