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Distribuciones De Probabilidad Para Variables Discretas


Enviado por   •  30 de Octubre de 2012  •  933 Palabras (4 Páginas)  •  1.012 Visitas

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Distribuciones de probabilidad para variables discretas

Recordemos inicialmente que existen las variables aleatorias, siendo aquellas que se asocian a la ocurrencia de un fenómeno aleatorio. Cuando una de estas variables aleatorias toma diversos valores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de probabilidad, la cual es la distribución de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria.

Las distribuciones de probabilidad pueden representarse a través de una tabla, una gráfica o una fórmula, en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina función de probabilidad.

Consideraremos primero las distribuciones de probabilidad para variables discretas.

Por ejemplo: Consideremos a la variable aleatoria X como la cantidad de águilas observadas cuando se lanzan dos volados. El espacio muestral es el conjunto {AA, AS, SA, SS} y se puede ver que la variable X puede tomar como valores 0, 1 y 2.

Calculando las probabilidades tenemos:

P(de no observar águilas) = P(SS) = P(X=0) = ¼

P(de observar una águila) = P(SA È AS) = P(X=1) = 2/4

P(de observar dos águilas) = P(AA) = P(X=2) = ¼

Si ahora se organizan estos resultados con el siguiente formato

X P(X=x)

0 ¼

1 2/4

2 ¼

se podrá explicar por qué se usa el nombre "distribución de probabilidad".

Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos, y que posteriormente, al hablar de las distribuciones de variables continuas, se repetirán de manera muy similar:

0 £ P(X=x) £ 1.

SP(X=x) = 1, o que es lo mismo: la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad.

Hay que hacer notar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad, pero en la realidad ésto no ocurre, es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones. Precisamente esto nos lleva a modelos teóricos que estiman los resultados, los principales son los que a continuación se presentan.

Media y desviación estándar de una distribución de probabilidad para variables discretas

En una *a href*distribución de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando la fórmula , la cual puede expresarse como

Considerando la definición de probabilidad de un evento, P(X) es el cociente de la frecuencia entre el número total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia), por lo que la media de una distribución de probabilidad de una variable discreta es:

Por ejemplo: Consideremos la variable X del ejemplo de águilas observadas en dos lanzamientos de monedas. Es decir, X tal que su distribución de probabilidad sea:

X P(X=x)

0 ¼

1 ½

2 ¼

Entonces, para calcular su media m se realiza:

Similarmente, la *a href*varianza se definió como , y haciendo un tratamiento análogo anterior tenemos que

para que, finalmente, la varianza de una distribución de probabilidad de una variable discreta sea:

Consecuentemente, la desviación estándar de una distribución de probabilidad de una variable discreta es:

Por ejemplo: Considerando la misma distribución de probabilidad que en el ejemplo anterior, su desviación estándar se calcula:

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONTINUA

Llamaremos función de densidad de una variable aleatoria continua X a una función f que cumple:

es positiva

el área total bajo la curva, es decir entre f(x) y el eje de abscisas, es 1

F(X)=∫_(-∞)^∞▒〖f(X)dx=1〗

el área determinada por f(x), el eje de abscisas y las rectas x=a, x=b, es la probabilidad de que la variable continua X esté en el intervalo [a,b], P(a£X£b)

Cálculo de media y desviación estándar para una distribución continua

Media o valor esperado de x.- Para calcular la media de una distribución de probabilidad continua se utiliza la siguiente fórmula:

Donde:

m = E(x) = media o valor esperado de la distribución

x = variable aleatoria continua

f(x) = función de densidad de la distribución de probabilidad

Desviación estándar.- La fórmula para determinar la desviación estándar de una distribución continua es;

luego:

Ejemplo:

Para la siguiente función,

cuando 0£ x £ 3, f(x) = 0 para cualquier otro valor

Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad.

Si la función define una distribución de probabilidad, entonces, determine su media y desviación estándar.

Determine la probabilidad de que 1£ x < 2.

Solución:

Para verificar que la función nos define una distribución de probabilidad, es necesario que cumpla con las características que se habían mencionado.

Para comprobar que la sumatoria de las probabilidades que toma cada valor de x es de 1, se integra la función de 0 a 3 como se muestra a continuación:

A= área bajo la función

Con las operaciones anteriores comprobamos que la función sí nos define una distribución de probabilidad continua.

Cálculo de media y desviación estándar.

Las barras nos indican la evaluación de la integral entre 0 y 3.

c)

La barra nos indica la evaluación de la integral de 1 a 2.

Con las operaciones anteriores nos damos cuenta que para evaluar probabilidades para variables de tipo continuo, es necesario evaluar la función de densidad de probabilidad en el rango de valores que se desea; que vendría siendo el área que se encuentra entre f(x) y el eje de las x y entre el rango de valores definidos por la variable x.

Suponga que el error en la temperatura de reacción, en oC, para un experimento controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x, que tiene la función de densidad de probabilidad:

, para -1< x < 2 y f(x)= 0 en cualquier otro caso

Verifique la tercera condición de la definición de una distribución de probabilidad continua.

Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad.

Encuentre la probabilidad de que 0< x £ 1.

Solución:

Como la tercera condición es que la sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe de ser 1, esto se comprueba de la siguiente manera:

...

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