METODO DE LA REGLA FALSA

METODO DE LA REGLA FALSA

Método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición  es un método iterativo que a diferencia del método de la bisección, este se basa en una visualización grafica que consiste en unir f(a0) y f(b0) con una línea recta, la intersección de esta recta con el eje de coordenadas x representa una mejor aproximación de la raíz que por el método de la bisección, aunque no siempre es así.

[pic 1]

Hallaremos la pendiente de la grafica de la recta trazada entre los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)), donde la intersección con el eje de abscisas o línea horizontal sera nuestra aproximación a la raíz xi .

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Podremos notar que la regula falsi determina el promedio ponderado de los extremos del intervalo.

Algoritmo de la falsa posición  

Paso 1: dada la ecuación f(x)=0  ubicar el intervalo donde exista la raíz r є [a , b]

Paso 2: generar la sucesión {xi}  con la siguiente relación. 

[pic 5]

Paso 3:

Determinar

[pic 6]

Paso 4: si |x-x|≤ є dejar de iterar, caso contrario ir al paso 2

        Ejemplo

Sea la función donde x є [0,3] resolver por el método de falsa posición

[pic 7]

1.       ¿Cuántas cifras significativas tiene la solución en la cuarta iteración?
2.       ¿Cuántas cifras decimales tiene la solución en la cuarta iteración?

Solución

Primero buscamos el  intervalo donde podemos encontrar al menos una raíz. 

[pic 8]

[pic 9]

 f(0).f(1) < 0  entonces el intervalo a trabajar será [0,1]
 Iteración inicial

[pic 10]

[pic 11]

 Primera iteración

[pic 12]

[pic 13]

 Segunda iteración

[pic 14]

[pic 15]

Tercera iteración 

[pic 16]

[pic 17]

 Cuarta iteración

[pic 18]

[pic 19]

 Respondiendo a las preguntas planteadas

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

2. 

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Ventajas y desventajas

La ventaja del método de Regula - Falsi, al igual que el de bisección, es que es siempre convergente para funciones continuas f(x). Aunque en general, converge más rápidamente que el método de la bisección, su velocidad de convergencia es baja.

CODIGO EN SCILAB

clc

clear

function [resultado]=reglafalsa(fun, x, tol, maxit)

    if fun(x(1))>0 then

        xu=x(1);

        xl=x(2);

    else

        xu=x(2);

        xl=x(1);

    end

    Ea=100;

    iter=1;

    while(iter<maxit)

       xr=xl-((xu-xl)/(fun(xu)-fun(xl))*fun(xl));

       Ea=abs(fun(xr))

       if Ea<tol then

           break

       end

       if fun(xr)>0 then

           xu=xr;

           xl=xl;

         elseif fun(xr)<0 then

             xl=xr;

             xu=xu;

          else

              break

          end

...