Marcos y Vigas

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Universidad Politécnica de Tulancingo

Los marcos están compuestos de elementos rectos unidos por conexiones rígidas (resistentes a momento) o conexiones articuladas para formar configuraciones estables. Los elementos de los marcos se conectan por conexiones rígidas, aunque a veces se usan conexiones articuladas. Un nodo rígido previene de traslaciones y rotaciones relativas del extremo del elemento conectado a ella, por lo que el nodo es capaz de transmitir dos fuerzas de componentes rectangulares y pares entre los elementos conectados. Bajo la acción de las cargas externas, los elementos de un marco pueden, en general, estar sujetos a momentos de flexión, cortante y tensión o compresión axial.

La combinación (externa e interna) de la determinación estática de marcos se define de manera similar a la de las armaduras. Un marco es considerado estáticamente determinado si los momentos de flexión, cortantes y fuerzas axiales en todos sus elementos, además de sus reacciones externas, pueden ser determinados usando las ecuaciones de equilibrio y de condición.

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Consideremos un marco que contiene m elementos y j nodos, y soportado por r (número de reacciones externas).

Para el análisis necesitamos determinar 6m fuerzas en los elementos y r reacciones externas; es decir, necesitamos calcular un total de 6m + r cantidades de incógnitas. Dado que hay m elementos y j nodos y que podemos escribir las tres ecuaciones de equilibrio de cada elemento y cada nodo, el número de ecuaciones disponibles es 3(m + j). Además si un marco contiene articulaciones internas y/o patines internos, estas condiciones internas pueden proporcionar ecuaciones adicionales, las cuales se pueden usar en conjunto para esclarecer las incógnitas.

Si hay ec ecuaciones de condición para un marco, el número total de ecuaciones (ecuaciones de equilibrio más ecuaciones de condición) disponibles es 3(m + j) + ec. Para un marco, si el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones, es decir,

6m + r = 3(m + j) + ec

o bien,

3m + r = 3j + ec,

entonces todas las incógnitas se pueden determinar resolviendo las ecuaciones de equilibrio y de condición, y el marco es estáticamente determinado.

Las condiciones para inestabilidad estática, determinación e indeterminación de marcos planos se pueden resumir como:

3m + r < 3j + ec, marco estáticamente inestable, 3m + r = 3j + ec, marco estáticamente determinado,[pic 4]

3m + r > 3j + ec, marco estáticamente indeterminado.

Ejercicio: Verifique que cada marco plano que aparece en la figura es estáticamente indeterminado, y establezca su grado de indeterminación estática.

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Ejercicio: Dibuje los diagramas de cortante, de momento flexionante y de fuerza axial, además de la configuración deformada del marco.

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Determinación estática: m = 3, j = 4, r = 3, y ec = 0. Debido a que 3m + r = 3j + ecy a que el marco es geométricamente estable, es estáticamente determinado.

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Reacciones: Considerando el equilibrio del marco completo, observamos que para satisfacer PFx = 0, la reacción de la componente Axdebe actuar a la izquierda con la magnitud de 18k para balancear la carga horizontal de 18k a la izquierda. Por lo tanto,

Ax = −18 k.

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Calculamos las dos reacciones restantes aplicando las dos ecuaciones de equilibrio de la siguiente forma:

X

MA = 0; − 18(20) − 2(30)(15) + Dy(30) = 0,

X

Fy = 0;Ay − 2(30) + 42 = 0.

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[pic 10]Fuerza en los extremos de los elementos: Los diagramas de cuerpo libre de todos los elementos y los nodos del marco aparecen en la figura. Podemos empezar el cálculo de las fuerzas internas en el nodo A o en el nodo D, ambos tienen tres incógnitas.[pic 11]

Fuerza en el nodo A: Comenzando con el nodo A, podemos ver que el diagrama de cuerpo libre que para satisfacer PFx = 0, AABX debe actuar a la derecha con una magnitud de 18k a la izquierda. Por lo tanto,[pic 12]

AABX = −18 k.

Fuerza en el elemento AB: Como las magnitudes de AABX y AABY        conocidas, el elemento AB tiene tres incógnitas BXAB, BYAB y MBAB, las cuales se encuentran aplicando las tres ecuaciones de equilibrio. Por lo tanto,[pic 13]

BXAB = 18 k ,BYAB = −18 k, y MBAB = 360 kft.

Fuerza en el nodo B: Procediendo con el nodo B y considerando su equilibrio, obtenemos

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