Taller metodos numericos

[pic 1]

Taller 3 Métodos Numéricos

1. . Programe en un archivo .m el algoritmo del Metodo de Simpson en varias variables.

Archivo adjuntado

1. Calcule las siguientes integrales dobles utilizando directamente la rutina programada:

a)∬𝐷

𝑒(𝑥+𝑦)2

(1 +   ) 𝑑𝐴, donde D es el recinto limitado por las curvas

𝑥[pic 2][pic 3]

x=y, 3x=y, x+y=1 y x+y=2.

Lo primero que tenemos que hacer es encontrar los límites de integración en este caso trabajaremos con el orden de integración [pic 4]. Después graficamos las curvas del área que limita D.

Con untiled graficamos el área quedando:

[pic 5]

Aquí vemos que el área de integración se debe dividir en dos zonas debido al cambio en los límites de integración, ósea 𝐷 = 𝐴1 𝖴 𝐴2 , donde:[pic 6]

[pic 7]

Entonces la integral se puede reescribir de la siguiente forma:

[pic 8]

Luego en con el método explicado :

f = @(x,y) exp((x+y).^2).*(1+y./x)

y

a = 1/4 b = 1/2

g1 = @(x) 1-x ; g2 = @(x) 3*x ;

I1 = Simpson2Var(f,a,b,g1,g2,n)

Obtenemos que I1=3.0602 Con

a = 1/2 ;

b = 1 ;

g1 = @(x) x ;

g2 = @(x) 2-x ;

I2 = Simpson2Var(f,a,b,g1,g2,n)

Obtenemos que I2= 14.4891

S11=I;

Por lo tanto el área total será I=I1+I2 por lo tanto I= 17.5493

b) [pic 9]

En este caso el área de integración ya está especificada, entonces el resultado de la integración será:

f = @(x,y) exp(y.^2)./sqrt(x-1)

con:

n = 10 a = 1 ; b = 4 ;

g1 = @(x) 1 ;

g2 = @(x) 2 ;

I = Simpson2Var(f,a,b,g1,g2,n)

Obtenemos que I= infinito

S12=I;

1. Repita el ejercicio anterior:

1. Efectuando una transformacion del recinto de integracion en la letra a)

Realizando un cambio de variable cambiamos el recinto de integración. Observamos los límites de integración[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

Entonces tomamos:

[pic 14]

y

[pic 15]

Obteniendo:

y[pic 16]

[pic 17]

entonces:

[pic 18]

Ahora calculamos el jacobiano:[pic 19]

Entonces el cambio de variable queda como:

[pic 20]

Ahora, analizando los limites:

[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Entonces:

[pic 25]

Encontramos que:

[pic 26]

Luego:

f = @(u,v) exp(u.^2).*(u./(v+u))

con

n = 20 a = 1 ; b = 2 ;

g1 = @(u) -u/2 ;

g2 = @(u) 0 ;

I = Simpson2Var(f,a,b,g1,g2,n)

Obtenermos que: I=16.7190

S21=I;

b)Utilizando en b) ∫𝑏 ∫𝑑 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∫𝑑 𝑔(𝑦)𝑑𝑦

𝑎        𝑐        𝑎        𝑐

Separamos las funciones:

[pic 27]

Y

[pic 28]

En este caso no es necesario utilizar la función de varias variables, sino la de una sola variable

f = @(x) 1./sqrt(x-1) ;

g = @(y) exp(y.^2) ;

con

n = 10 a = 1 ; b = 4 ;

I1 = SimpsonP(f,a,b,n) Obtenemos que I1=infinito Ahora con:

c = 1 ; d = 2 ;

I2 = SimpsonP(g,c,d,n) Obtenemos que I2 = 3.5842e+42 I = I1*I2

Entonces :

I = Infinito

S22 = I ;

1. Modifique el programa desarrollado en el ítem 1, de modo que la integración se realice a través del Método de Richardson en la línea 13. Desarrolle los ejercicios 2 y 3 con esta rutina, utilizando n = 6, n = 15 y n = 20.

Se empleó el método de Richardson con el método de trapecio, dando lugar a

[pic 29]

Donde [pic 30]  es el valor de la integral calculada con trapecio utilizando [pic 31]. Tomando [pic 32], entonces

[pic 33]

Luego, se recrea el algoritmo de Richardson con Trapecio y se cambia la función para integración de dos variables. Calculamos los siguientes resultados tomando        .[pic 34]

Para la primera integral

% Original dydx

...