ALGEBRA UNIVERSITARIA

Álgebra universitaria

Fundamentos/Introducción

En este capítulo se presenta todo aquello que será necesario conocer para poder atender los temas de los capítulos posteriores. A su vez, se da una idea, tan precisa como es posible, de qué es el álgebra y cuál es su estructura. Esto está pensado para aclarar cual será el material que conforma a este libro, pues el término álgebra es usado para nombrar libros cuyo contenido es muy distinto al de éste.

De acuerdo a los intereses del lector, ciertas secciones pueden ser omitidas o recurrirse a ellas solo en caso de necesitarse un repaso. Confiamos en que la estructura del capítulo se presta para ello.

En la primera sección se presenta un estudio rápido de la teoría de conjuntos, pues, como la experiencia nos convence, el conocimiento de ésta es fundamental, no solo para pasar a los capítulos siguientes, sino para el acceso del lector a libros de nivel superior que incluyen material más abstracto o avanzado.

La segunda sección contiene información al respecto de la naturaleza del álgebra. Creemos que una sección así es digna de cursos de álgebra a nivel universitario, ya que a este nivel el lector debe comenzar a concebir el álgebra, y las matemáticas en general, como una ciencia lógica, deductiva y rigurosa, así como también debe percatarse de que el álgebra estudiada aquí, con todo y su estructura, es tan solo una de tantas álgebras posibles y con propósitos distintos, no menos valiosos.

Las últimas dos secciones cubren lo relativo a las operaciones del álgebra: la adición y la multiplicación y las operaciones que de ellas se derivan, además de presentar los sistemas de números usados en el álgebra que estudiamos en este libro. Estas secciones terminan, pues, por mostrar la forma y estructura básica del álgebra.

Conjuntos

Álgebra universitaria/Fundamentos/Conjuntos

El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales de las matemáticas, y por tanto, como sucede con otros conceptos matemáticos —como el de punto o recta—, no es posible dar una definición eficaz a la vez que simple e intuitiva. Así, en estudios intuitivos de la teoría de conjuntos, se opta por entender el concepto de conjunto más que por definirlo, y de ello resulta que un conjunto es un concepto intuitivo. Este método es útil y funcional hasta ciertos límites, más allá de los cuales se presentan claras dificultades y contradicciones. Sin embargo, nuestra necesidad no nos llevará siquiera cerca de esos límites, y, por tanto, podemos conformarnos con el método intuitivo.

Entenderemos pues por conjunto, cualquier reunión de objetos en una sola colección. Resulta entonces que podemos pensar en conjuntos como: los puntos de una recta, los jugadores de un equipo de fútbol, los números naturales menores que seis, etc. Por supuesto, no todos los conjuntos serán útiles, de manera que nuestros conjuntos serán exclusivamente de números, excepto en un capítulo en donde usaremos también conjuntos de ecuaciones lineales.

Los miembros de un conjunto dado, es decir, los objetos que pertenecen a ese conjunto, los llamaremos elementos de dicho conjunto.

Procuraremos reservar las letras mayúsculas para representar a los objetos que trabajan como conjuntos y las letras minúsculas para representar a otros objetos, como, por ejemplo, los elementos de un conjunto. Otros símbolos, como , que se usa para representar al conjunto de los números naturales, los reservaremos para conjuntos de especial interés, que serán introducidos más adelante.

Para representar que es uno de los elementos del conjunto, digamos, , escribiremos

.

(Léase " pertenece al conjunto ").

La negación de se escribe y se lee " no pertenece al conjunto ".

Dos conjuntos y son iguales, lo que se representa por , si y solo si todos los elementos del conjunto son elementos del conjunto y todos los elementos del conjunto son elementos del conjunto . Si todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto se dice que es un subconjunto de , lo cual se representa por , y puede interpretarse diciendo que el conjunto esta incluido dentro del conjunto .

Si es un conjunto cuyos elementos son , , y , y solo ellos, usaremos una notación según la cual este conjunto puede representarse por

.

En general, representaremos cualquier conjunto escribiendo todos sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves. Tal notación se conoce como notación por extensión o notaciónpor enumeración. Por ejemplo, el conjunto de números naturales menores que seis, se escribe

Este conjunto puede representarse de otra manera, mediante el empleo de otra notación, llamada comúnmente notación por comprensión o notación por descripción, y que en general resulta muy útil. En esta notación, el conjunto se representa así:

.

(Léase "el conjunto de todos las en tales que ). Existe un conjunto sin elementos, llamado conjunto vacío y representado por , que no contiene elementos, es decir, que se caracteriza por hacer siempre falsa la proposición

,

sea cual sea el elemento .

Dados dos conjuntos y , se llama unión de A y B al conjunto, representado por que contiene todos los elementos que están en , todos los que está en y todos los que están tanto en como en .

Ejemplo 1:

Sean y . Entonces

.

Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección de A y B al conjunto, representado por , que contiene los elementos que están tanto en A como en B.

Ejemplo 2:

Sean y . Entonces

.

Dos conjuntos y tales que se dicen conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes.

Llamamos cardinal de un conjunto al número de elementos que contiene .

El álgebra

Álgebra universitaria/Fundamentos/El álgebra

En la actualidad existe gran cantidad de álgebras, unas muy distintas entre sí. El álgebra que estudiaremos nosotros, es el álgebra de los números complejos. La mejor forma de darle una idea al lector de qué es esa algebra de los números complejos, es mostrarle su estructura. En realidad, el álgebra tiene una estructura muy sencilla, conformada por los siguientes tres elementos:

1. Un conjunto de elementos, que en nuestro caso, será el conjunto de números complejos, .

2. Dos operaciones elementales, que llamaremos operaciones algebraicas y que se aplican al los elementos del conjunto : la adición y la multiplicación.

3. Una serie de leyes que rigen el comportamiento de las operaciones algebraicas al ser aplicadas a los números complejos.

Esta estructura tan simple proporciona los resultados necesarios para que el estudio de los mismos sea tan vasto como las páginas de este libro, y más. Los tres elementos que conforman la estructura del álgebra serán discutidos en secciones siguientes.

Conjuntos de números

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Ahora estudiaremos un poco más a fondo los conjuntos de números que emplearemos en este libro. El primer conjunto que estudiaremos es el de los números naturales,

(1.2.1)

que es ciertamente el más sencillo de todos los conjuntos de números. Nótese que hemos incluido el cero dentro de los números naturales. Aunque rara vez tiene importancia si los números naturales parten del cero o del uno, es conveniente hacer una aclaración a este respecto. Lo mejor que podemos decir es que nosotros, al haber incluido el cero entre los números naturales, nos hemos ajustado a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que incluye el cero como número natural. No entraremos aquí en detalles, así es que a un lector más ambicioso lo remitimos a una sección incluida en el Apéndice A donde se profundiza más en este asunto.

Lo primero a notar es que, si bien, los números naturales tienen un primer elemento (el cero), no tienen un último, y esto es precisamente lo que se pretende indicar con los tres puntos en la expresión (1.2.1). Otra cosa es que los números naturales tienen, en el sentido técnico de la palabra, un buen ordenamiento, pues todo subconjunto de tiene un primer elemento. Por supuesto, para apreciar que el conjunto de los números naturales es bien ordenado, es necesario definir aquella relación que le da el orden. Estudiar esto nos llevaría de nuevo lejos de nuestro propósito, por lo que aquí también remitimos al lector a la segunda sección del Apéndice A.

Los números naturales son, valga la redundancia, muy "naturales", y es quizá por ello que raras veces se pregunta uno el por qué de sus características o propiedades. Sin entrar mucho en el trasfondo del asunto, mencionaremos aquellos principios básicos que dan su estructura a los números naturales. Estos principios son los llamados axiomas de Peano, en honor al lógico-matemático Giuseppe Peano, quien los expuso por primera vez en su obra Arithmetices principia (1889). Los axiomas de Peano, que en la obra original de este matemático eran nueve, hoy han podido ser reducidos a los cinco siguientes:

1.

2. para todo , existe , llamado sucesor de

3. para todo

4. si , entonces

5. si con , y si para todo se tiene que , entonces .

El primer axioma nos dice que el

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