ANALISIS DE VARIAS. Limites y continuidad
Enviado por djbteamo • 7 de Noviembre de 2016 • Apuntes • 1.886 Palabras (8 Páginas) • 280 Visitas
Limites y continuidad
Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno. El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto [pic 1], como lo muestra la figura 1. [pic 2] Figura 1. Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de [pic 3] variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo abierto de [pic 4].
Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un [pic 13] obtenemos un disco cerrado
[pic 21] Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera [pic 22], el valor de[pic 23] está entre [pic 24] y [pic 25], como se ilustra en la figura
[pic 26] Figura 2. Como ya mencionamos, cuando escribimos que [pic 27] entendemos que el punto [pic 28] se aproxima al punto [pic 29] en cualquier dirección. Si el valor de [pic 30] no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a [pic 31] , entonces el límite no existe. El siguiente ejemplo muestra esta situación. Ejemplo 1 Compruebe que el siguiente límite no existe [pic 32] Solución El dominio de esta función es [pic 33]. Para comprobar que le límite no existe, consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento al punto [pic 34]. Sobre el eje [pic 35] ([pic 36]) cada punto es de la forma [pic 37] y el límite en esta dirección es: [pic 38] Sobre la trayectoria [pic 39] cada punto es de la forma [pic 40] y el límite en esta dirección es [pic 41] Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en [pic 42] existen puntos [pic 43] en los cuales [pic 44] vale [pic 45] y [pic 46]. Luego [pic 47] no puede tener límite cuando [pic 48]. Observación : en el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes.Sin embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir que el límite existe.Para llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo para toda posible trayectoria. Esta tarea no es simple y requiere el uso de la definición misma, como muestra en siguiente ejemplo. Ejemplo 2 Compruebe que [pic 49] Solución La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunque el límite de cero a través de muchas trayectorias esto no demuestre que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe. Sea [pic 50], queremos encontrar un [pic 51]tal que [pic 52] es decir [pic 53] como [pic 54] Por consiguiente, si elegimos [pic 55], entonces [pic 56] Por consiguiente, por la definición [pic 57] Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos y cocientes, que las funciones de una sola variable, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3 Calcule los siguientes límites
Solución 1. Evaluamos directamente [pic 61] 2. Para este límite, factorizamos el denominador [pic 62] 3. Para este límite racionalizamos el denominador [pic 63]
Existen algunas técnicas que a veces resultan útiles en el cálculo de límites. El siguiente ejemplo ilustra el uso de coordenadas polares en el cálculo de un límite. Ejemplo 4 Use coordenadas polares para comprobar que [pic 64] Solución Sean [pic 65] las coordenadas polares del punto [pic 66] . Entonces, como [pic 67] tenemos [pic 68] pues, [pic 69] para cualquier valor de [pic 70]. El siguiente ejemplo muestra una situación que podría llevarnos a pensar que el límite existe. Ejemplo 5 Estudie la existencia del siguiente límite [pic 71] Solución Si usamos trayectorias rectas que pasan por el origen [pic 72], donde [pic 73], tenemos [pic 74] Ahora usemos como trayectorias las parábolas de la forma [pic 75], con [pic 76]. [pic 77] Esto nos podría llevar a concluir que el límite es cero, pues las rectas y parábolas que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias.Pero, observe que al usar la trayectoria [pic 78], obtenemos [pic 79] Por tanto, el límite no existe.
Usando las propiedades de los límites podemos obtener el siguiente teorema sobre la continuidad de la suma producto y cociente.
Ejemplo 6 Compruebe que la siguiente función es continua en [pic 93]. [pic 94] Solución Del ejemplo 2 tenemos que [pic 95] por lo cual, la función [pic 96] es continua en[pic 97]. La gráfica de la función se muestra en la figura
[pic 98] Figura 3. Observación : los ejes en la figura 3 se han variado un poco con respecto a la forma usual en la que los hemos estado usando con el propósito de que la superficie se pueda apreciar mejor. Ejemplo 7 Considere la función [pic 99] [pic 100] ¿ Dónde es continua la función [pic 101]? Solución Observe que la función no esta definida para los puntos [pic 102] en donde [pic 103], por lo tanto es discontinua en dichos puntos.Es decir, es continua en : [pic 104] En la figura se muestra la región en la cual [pic 105] es continua. [pic 106] Figura 4.
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