APÉNDICE MATEMÁTICO

APÉNDICE MATEMÁTICO

 En este apéndice repasaremos brevemente algunos de los conceptos matemáticos utilizados durante el curso, con el fin de recordar las definiciones de algunos términos. No pretende ser, desde luego, un texto de matemáticas, por lo que las definiciones expuestas no serán, por lo general, las más rigurosas sino las más sencillas.

1. Funciones

 Una función es una regla que describe una relación entre números. Asigna a cada número x un único número y de acuerdo con una determinada regla. Por lo tanto, puede indicarse describiendo la regla; por ejemplo, "tómese un número y elévese al cuadrado" o "tómese un número y multiplíquelo por 2", etc. Estas funciones se expresan de la forma siguiente: y = x2, y = 2x. Las funciones se denominan algunas veces transformaciones.

Cuando quiere indicarse que una variable y depende de otra, x, pero no se conoce la relación algebraica específica que existe entre las dos, se escribe y = f(x) y se dice que la variable y depende de x de acuerdo con la regla f.

Dada una función y = f(x), el número x suele llamarse variable independiente y el número y variable dependiente, en el sentido de que x varía independientemente, pero el valor de y depende del valor de x.

Muchas veces una variable y depende de varias, xl, x2, etc.; en ese caso, escribimos y = f(x1, x2) para indicar que ambas variables determinan conjuntamente el valor de y.

1. Gráficos

 Un gráfico de una función representa gráficamente su conducta. La figura l muestra dos ejemplos. En matemáticas, la variable independiente suele representarse en el eje de abscisas y la dependiente en el de ordenadas. En ese caso, el gráfico indica la relación entre la variable independiente y la dependiente.

Sin embargo, en economía es frecuente representar las funciones colocando la variable independiente en el eje de ordenadas y la dependiente en el de abscisas. Por ejemplo, las funciones de demanda suelen representarse colocando el precio en el eje de ordenadas y la cantidad demandada en el de abscisas.

[pic 1]

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1. Propiedades de las funciones

 Una función continua es aquella que puede trazarse sin levantar lápiz del papel: no hay ningún salto. Una función lisa es aquella que no tiene vértices ni esquinas. Una función monótona es aquella que siempre es creciente (en este caso se dice que es monótonamente creciente) o decreciente (en este caso se dice que es monótonamente decreciente).

1. Funciones inversas

 Recuérdese que una función tiene la propiedad de que a cada valor de x le corresponde un único valor de y y que una función monótona es aquella que siempre es creciente o decreciente. Eso significa que en una función monótona, a cada valor de y le corresponde un único valor de x.

La función que relaciona la x y la y de esta forma se llama función inversa. Si se nos da y en función de x, podemos calcular la función inversa despejando x en función de y. Si y = 2x, la función inversa es x = y/2. Si y = x2, no hay una función inversa; dada cualquier y, tanto [pic 2] como [pic 3] tienen la propiedad de que su raíz cuadrada es igual a y. Por lo tanto, a cada valor de y le corresponde más de un valor de x, en contra de lo que exige la definición de la función.

1. Ecuaciones e identidades

 Una ecuación pregunta en qué casos una función es igual a un determinado número. He aquí algunos ejemplos.

2x = 8 x2 = 9 f(x) = 0

 La solución de una ecuación es el valor de x que satisface la ecuación. La primera tiene una solución x = 4. La segunda tiene dos soluciones, x = 3 y x = -3. La tercera es una ecuación general.

No conocemos su solución hasta que no sabemos cuál es la regla representada por f, pero podemos denominarla x*. Eso significa simplemente que x* es un número tal que f(x*) = 0. Decimos que x* satisface la ecuación f(x) = 0.

Una identidad es una relación entre variables que se cumple cualesquiera que sean los valores de dichas variables. He aquí algunos ejemplos:

(x + y)2 ≡ x2 + 2xy + y2 2(x + l) ≡ 2x + 2.

El símbolo especial ≡ significa que el primer miembro y el segundo son iguales cualesquiera que sean los valores de las variables. Una ecuación sólo se cumple en el caso de algunos valores de las variables, mientras que una identidad se cumple en el caso de todos. Muchas veces una identidad es verdadera por definición.

1. Funciones lineales

Una función lineal tiene la siguiente forma:

y = ax + b,

donde a y b son constantes. He aquí algunos ejemplos:

y = 2x + 3 y = x - 99.

Estrictamente hablando, una función de la forma y = ax + b debe llamarse función afín, y sólo las funciones de la forma y = ax deben llamarse funciones lineales. Sin embargo, no insistiremos en esta distinción.

Las funciones lineales también pueden expresarse implícitamente de la manera siguiente: ax + by = c. En ese caso, a menudo se despeja y en función de x para que tenga la forma habitual:

[pic 4]

1. Variaciones y tasas de variación

 La notación Δx quiere decir "la variación de x". No significa el producto de Δ por x. Si x varía de x* a x**, la variación de x es:

Δx = x** - x*.

         Esta expresión también puede formularse de la manera siguiente:

x** = x* + Δx

para indicar que x** es x* más una variación de x.

La letra griega Δ (delta) significa incremento, que puede ser positivo, nulo o negativo.

Normalmente, Δx representa una pequeña variación de x. A veces se expresa diciendo que Δx representa una variación marginal.

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