Aplicaciones integrales definidas

Desarrollo de la práctica:

Instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

1. Con respecto al video del Teorema Fundamental del cálculo que aparece en la explicación del tema 6 y 7 contesta las siguientes preguntas:

1. El  Teorema Fundamental del Cálculo es otra manera para obtener: el valor exacto de una integral definida; y con esto, obtener numerosas aplicaciones como encontrar el area bajo la curva, relación de cambio, entre otros  y por lo tanto solo se puede utilizar cuando: la función está delimitada por un intervalo de valores. Las diferentes maneras en que hemos resuelto integrales son: por partes, por sustitución, con identidades trigonométricas, por regla de la cadena y por fracciones parciales.
2. Es posible que [pic 1]represente el área de una región encerrada 
   Si: x No: _____ Justifica:

[pic 2]

Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Sí es posible que represente el área de una región. Pero para este caso, dado que está en un intervalo donde la función en valores negativos y positivos, la suma de las dos áreas (negativa y positiva) da un valor de cero.

1. Si queremos encontrar el cambio en la producción de 50 a 100 unidades por semana debemos resolver la integral definida: , ya que esta función representa el costo marginal de un fabricante. [pic 6]
2. El método de integración que debemos utilizar para resolver esta integral es: por partes  ya que se está manejando una: multiplicación de funciones. Utilizando el acrónimo: LATE para seleccionar u tenemos que u = ln|q| du:  y dv: qdq con v = . Y por lo tanto el valor de la integral es:[pic 7][pic 8]

 [pic 9]

• [pic 10]

Sustituimos el resultado de la integral:

[pic 11]

Evaluamos la integral definida en el intervalo de (50,100)

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

1. Investiga en tu libro de texto u alguna otra fuente: el tema de “integración de fracciones parciales” [pic 16], en donde el grado del polinomio [pic 17] es mayor o igual al de [pic 18]. Incluye un ejemplo y presenta tus resultados en forma de reporte.
2. Resuelve las siguientes integrales indefinidas, aplicando el método de fracciones parciales.

1.  [pic 19]

Hacemos la división entre los dos polinomios:

[pic 20]

• [pic 21]

Aplicamos fórmula:

[pic 22]

Multiplicamos ambos extremos por el denominador:

[pic 23]

[pic 24]

Determinamos los valores de A y B e igualamos coeficientes: [pic 25]

Si x=3:

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Si x=-2:

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Representamos la fracción:

[pic 32]

Así que la integral final que debemos resolver es:

        [pic 33]

• [pic 34]

[pic 35]

• [pic 36]

[pic 37]

• [pic 38]
• [pic 39]

        [pic 40]

1. [pic 41]

[pic 42]

Aplicamos la fórmula:

[pic 43]

Multiplicamos a ambos lados el denominador:

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Determinamos los valores de A, B y C e igualamos coeficientes:

    (1)[pic 48]

    (2)[pic 49]

      (3)[pic 50]

Despejar C en  (1)

[pic 51]

Reemplazar en (2)

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

   (4)[pic 55]

Reemplazar (4) en (3)

      [pic 56]

  [pic 57]

  [pic 58]

  [pic 59]

Reemplazar B en (3)

      [pic 60]

[pic 61]

Reempazar A y B en (1)

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

...