COMBINATORIA 1º medio

COMBINATORIA 1º medio

En primer lugar damos la definición del siguiente concepto:

ordenamiento:        Conjunto de  elementos  formados generalmente por  letras, números o figuras  geométricas,

        dispuestos en cierta posición.[pic 1]

[pic 2]

  2 4 5 8 9                                          

ordenamiento li-                                                                                                                                                       ordenamiento lineal de

neal de números                                                                                                                                                       figuras geométricas.

                                                                             ordenamiento circular de letras.

INTRODUCCIÓN

        La combinatoria cuenta los ordenamientos que se pueden formar  con los elementos  de  un  conjunto,  

veremos dos principios fundamentales en el estudio de la  combinatoria, estos  dos  principios  se  explicaran

con un ejemplo cada uno de ellos.

PRINCIPIO DE LA SUMA

Ejemplo :         Para pintar un objeto de un solo color disponemos de 3 colores diferentes  de  pinturas brillantes y

        otros 4 colores de pinturas opacas. ¿De cuántas maneras podemos elegir la pintura con la que  pin-

        taremos el objeto ?

Solución :         La pintura brillante puede se elegida de 3 maneras diferentes y la pintura opaca puede  ser  elegida

        de 4 maneras diferentes.

        Por lo tanto una pintura, brillante u opaca, puede  ser  elegida de 3 + 4 = 7 maneras  diferentes.

principio de la suma :         Si un objeto A puede ser elegido de m maneras diferentes y otro objeto B de n mane-

                ras diferentes, entonces el objeto A o B puede ser elegido de (m+n) maneras diferen-

                tes.

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Ejemplo :         Hay 5 buses que viajan entre Santiago a Viña del Mar. ¿De cuántas maneras puede una persona  ir

        de Santiago a Viña del Mar y regresar en un bus diferente ?

Solución :         Hay 5 maneras diferentes de ir de Santiago a Viña del Mar, y con cada una de  estas  maneras, hay

        4 maneras diferentes de regresar.

        Por lo tanto hay 5 · 4 = 20 maneras de ir y regresar en buses diferentes.

principio multiplicativo :         Si una determinada situación A puede efectuarse de m maneras diferentes, y  con

                  cada una de estas maneras una segunda situación B puede  efectuarse de n mane-

                ras diferentes, entonces ambas  situaciones A y B pueden  realizarse de m · n ma-

                        neras diferentes.

Antes de continuar se hace necesario introducir el siguiente concepto.

FACTORIAL

Observar lo siguiente :

5 · 4 · 3 · 2 · 1  lo escribimos en forma abreviada como 5!, este símbolo se lee “cinco factorial”.

de la misma forma :

6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

En general : n! = n · (n-1) · (n-2) · (n-3) · ….· 3 · 2 · 1

Factorial :        El símbolo n! se lee “ene factorial” y corresponde  a la  multiplicación  de  los  números  naturales  

        consecutivos desde el 1 hasta n.

VARIACIONES (sin elementos repetidos)

Considerar el siguiente ejemplo.

Ejemplo :         Supongamos que tenemos el conjunto [pic 3], y queremos formar todas ordenaciones  de  tres

        elementos (sin repetirlos).

        Representaremos cada ordenamiento como si tuviéramos que llenar 3 casilleros con estas letra

[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

a           b           c                 b           a           c                  c            a           b                  d           a    b

a           b           d                 b           a           d                 c    a           d                  d        a        c

a           c            b                 b           c           a                  c            b           a                  d        b        a

a    c            d                 b           c           d                  c            b           d                 d        b        c

a    d           b                 b           d           a                  c            d           a                  d        c        a

a          d           c                 b           d           c                  c    d           b                  d        c        b

          Observamos que en el primer casillero se pueden colocar 4 letras diferentes, en el segundo  casillero  se  pueden colocar 3  letras diferentes, ya que una vez puesta una letra en el primer casillero no se puede  colocar la  misma letra en el segundo casillero, por último en el tercer casillero se pueden colocar  dos  letras diferen-  tes, por la misma razón antes señalada, es decir, no se puede colocar la misma letra del primer casillero  ni  la

misma letra del segundo casillero.

          A este conjunto de 24 ordenaciones le daremos el nombre de “variaciones” y que para  nuestro ejemplo

se simboliza como [pic 8] y que se lee “el número de variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3.  

          Además, de las 24 ordenaciones del ejemplo anterior podemos observar que dos ordenaciones son dife-

rentes si tienen a lo menos un elemento  distinto o si  están  ordenados  en  forma  diferente (es decir, el orden

importa).

Estas variaciones se calculan como sigue : [pic 9][pic 10][pic 11]

nota :         Otra forma de calcula la cantidad de variaciones, es mediante la siguiente fórmula.

                [pic 12]

Ejercicio : Averigua como se obtiene la fórmula anterior.

Ejemplo : Determina el valor de [pic 13].

Solución : [pic 14]( se simplifica por 3! )

Variación :        Son todas las ordenaciones que se pueden  formar  con  algunos  elementos  de  un  conjunto, en

                                 donde dos ordenaciones son diferentes si tienen a lo menos un elementos  distinto o si  están  or-

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