CONICAS Deben saber, pues son resultados de la matemática que interesan acá
macklexPráctica o problema19 de Noviembre de 2015
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CONICAS
Deben saber, pues son resultados de la matemática que interesan acá, que
Ax²+ Bxy+ Cy²+Dx+Ey+F=0 es el modelo o ecuación general de las cónicas. Las hay completas o incompletas en relación con ese modelo. Ej1:3x²-8xy+5y²-2x+5y-6=0 es completa donde A=3, B=-8, C=5,D=-2, E=5 y la F= -6.
Ej2: 7x²+4y²+2x-9=0 se completaría, 7x²+0xy+4y²+2x+0y-9=0
Para determinar a qué cónica corresponde cada ecuación, se usa un resultado matemático denominado el “Discriminante” que nominaremos Di y que se expresa [pic 1][pic 2]
Si Di es de valor negativo se trata de elipse, si igual a cero parábola y si es de valor positivo hipérbola. A qué cónica corresponderán los ejemplos anteriores?
En Hotmath.com se encuentra:
Circunferencia | (x – h)2 + (y – k)2 = r2 | El centro es (h, k). El radio es r. |
Elipse con el eje horizontal mayor | [pic 3] | El centro es (h, k). |
Elipse con el eje vertical mayor | [pic 4] | El centro es (h,k). foco es c con c2 = a2– b2, a > b > 0. |
Hipérbola con el eje horizontal transversal | [pic 5] | El centro es (h, k). |
Hipérbola con el eje vertical transversal | [pic 6] | El centro es (h, k). |
Parábola con el eje horizontal | (y – k)2 = 4p(x – h), p ≠ 0 | El vértice es (h, k). |
Parábola con el eje vertical | (x – h)2 = 4p(y – k), p ≠ 0 | El vértice es (h, k). |
También deben saber que un trinomio cuadrado perfecto es aquel con el modelo [pic 7][pic 8] y que cumple con la igualdad [pic 9][pic 10] que se lee “el binomio a mas b al cuadrado es igual al cuadrado del primero, mas el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo”. Es decir que [pic 11][pic 12] es la factorización del trinomio cuadrado perfecto [pic 13][pic 14].
Observen que la raíz cuadrada del primer término del trinomio es a , la raíz cuadrada del segundo término es b su producto es ab y su doble es 2ab que es el termino del centro. Por lo tanto si poseo un trinomio y deseo saber si es TCP (trinomio cuadrado perfecto) hago lo descrito en el párrafo anterior y a sí determino si es o no TCP.
En otra situación esto nos puede servir, por ejemplo deseamos convertir un binomio en un TCP.
Hagamos un ejemplo: Sea 2x²+ 3x, completarlo como trinomio cuadrado perfecto.
Solución: Pensemos que 2x² está jugando el papel de primero al cuadrado, es decir que el primero es[pic 15][pic 16] o lo que es lo mismo [pic 17][pic 18]x. Por otro lado en el binomio el 3x está jugando el papel del doble (2) producto del primero ([pic 19][pic 20]x) por el segundo y que es desconocido, así las cosas la ecuación que resulta es 2.([pic 21][pic 22]x). y =3x de aquí saldrá el segundo, es decir y. Avanzando un poco [pic 23][pic 24] o [pic 25][pic 26] y de aquí se desprende que [pic 27][pic 28] . El TCP buscado sería [pic 29][pic 30]. ¡Verifícalo!
Las cónicas como lugares geométricos:
La circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).
Determinación de una circunferencia
[pic 31] |
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
El centro y el radio.
El centro y un punto en ella.
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 ¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.
Así la vemos | Así podemos expresarla |
[pic 32] |
Donde: (d) Distancia CP = r y [pic 33] Fórmula que elevada al cuadrado nos da (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 También se usa como (x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2 |
Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia, C(a, b).
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