Calculo Unidad 2

Concepto de Variable

Todos aquellos factores, eventos o sucesos, susceptibles de cambio, ya de sea de origen personal, social, físico, etc., que pueda adoptar más de un valor en un continuo, se le denomina variable, así por ejemplo, la edad, es una variable cuantitativa continua, ya que puede adoptar más de un valor en un gradiente preestablecido; otro ejemplo, sería el género, variable dicotómica (es decir puede adoptar dos únicos valores) de naturaleza cualitativa. Por tanto, es la naturaleza de la variable la que nos determina la forma de estudio.

Clasificación de las variables:

Variable dependiente:

Hacen referencia a las características de la realidad que se ven determinadas o que dependen del valor que asuman otros fenómenos o variables independientes.

Variable independiente:

Los cambios en los valores de este tipo de variables determinan cambios en los valores de otra (variable dependiente)

Variables intervinientes:

Este tipo de variables determina las relaciones entre dos o más variables. Los resultados de las variables de estudio pueden verse afectadas por los valores o la interposición de otras variables controladas o no en el proceso de estudio. Estas variables nos permiten determinar los indicadores de variabilidad.

Todo proceso de investigación queda determinado por el número y naturaleza de las variables que incluyamos en un estudio, a mayor número de variables introducidas y controladas, mayor será la significación matemática de los resultados que arroje la investigación, por ejemplo, si estudiamos las características socioeconómicas de una zona, en la medida que introduzcamos y controlemos en nuestro estudio más de una variable, mayor será el poder predictivo y explicativo de nuestro objetivo de estudio, así si queremos explicar las características socioeconómicas de una determinada zona debemos introducir en nuestro estudio variables tales como, edad, nivel educativo, renta per cápita, actividad productiva, etc.

Función

Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

Dominio

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

Codominio

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s.

Dominio y recorrido de funciones logarítmicas

Dominio

El valor del logaritmo debe ser > 0.

No existen los logaritmos de los números negativos ni el de cero.

Se resuelven igual que las irracionales pero en vez de usar ≥ 0 usaremos > 0

Ejemplos

Función Real De Variable Real Y Su Representación Gráfica

Función de Variable Real y su Representación Gráfica

Cualquier función cuyo rango de conjunto incluya sólo números reales esllamada una función valorada real o simplemente una función real.

Especialmente estudiada bajo el cálculo, una función valorada real se centra en las integrales, las desigualdades en general y sus derivadas.

Una función racional, por ejemplo, cae bajo la categoría de una función valorada real.

Al igual que en cualquier otra función, tambiéna una función real pueden realizársele las operaciones básicas, tales como suma, resta, multiplicación, etc.

Aunque el denominador no sea igual a cero, la operación de división se puede realizar en tales funciones.

El resultado de estas operaciones es otra función, que puede no ser una función real en algunos casos.

Si hablamos en términos matemáticos, una definición formal de una función valorada real sería “Una función f: X → Y se llama una función valorada real si asocia un único elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X, donde X e Y son subconjuntos del conjunto R (conjunto de todos los números reales)”.

En términos simples se puede decir que una función que tiene el dominio y co-dominiode su conjunto, como subconjunto de R se llama una función real.

Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x, f (x)) se le llama gráfico de una función.

En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de números reales; la gráfica se llamará gráfica de la función valorada real.

Generalmente el gráfico de tal función es una superficie, donde la entrada de la función es un par ordenado de números reales (x1, x2)y la salida, es decir, el gráfico formado es un triplete (x1, x2, f(x1, x2).

Algunas de las funciones valoradas reales y sus gráficos se analizan a continuación:

1. Función Constante y Gráfico: Una función constante es una función f: X → Y, donde X e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k.

El gráfico formado para esta función es una línea recta paralela al eje X.

Si tenemos que k> 0 la línea estará por encima del eje x, sinola línea se formará por debajo del eje-x.

En el caso que k sea igual a cero la línea se superpone al eje-x.

Ejemplo, y = 12, en este caso una línea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formará la gráfica.

Función Definida Por Más De Una Regla De Correspondencia

Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f: X → Y es llamadauna función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales.

Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples.

La notación general para definir una función a trozos es la siguiente,

Como se muestra en el ejemplo, punto y coma ócomas se utilizan al final de la columna.

Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “ de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto.

La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada.

Aquí el uso de la palabra “a trozos” se hace para describir la propiedad de esa función, que es válida para una ecuación / pieza de la función pero no en todo el dominio de la función.

La función a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado. El gráfico del ejemplo dado previamente luciría de esta forma,

Es claro que el gráfico anterior contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la función como un todo.

Un caso especial de la función a trozos es la función piso que tiene un número infinito de piezas.

El valor absoluto de cualquier número es su distancia absoluta del cero, nunca es negativo dado que la distancia nunca es negativa.

A la luz de la afirmación anterior se puede decir que el valor absoluto de cualquier número es el número mismo hecho positivo.

La función de valor absoluto es generalmente una función par, ya que cualquier número y su equivalente negativo tienen los mismos valores absolutos.

Tal función es estrictamente decreciente en el intervalo (- ∞, 0] y estrictamente creciente en el intervalo [0, ∞).

El ejemplo ilustrado arriba es también una función de valor absoluto.

Todas las gráficas de las funciones de valor absoluto están en forma de letra “V”, ya seanrectas u oblicuas en función del valor de la variable.

Esto se debe a que un valor negativo en cada variable es igual en magnitud pero opuesto en su dirección. Pero definitivamente no se puede llegar a la conclusión de que todas las funciones con forma de V son funciones de valor absoluto, esto es simplemente una probabilidad.

Graficar una función de valor absoluto es muy esencial para utilizar algunos valores negativos en la tabla T. Esto se debe a que las funciones de valor absoluto se comportan algo diferente de otras funciones lineales.

Generalmente una función real de valor absoluto se comporta de forma continua en todos sus dominios. También tal función sería diferenciable para todos los valores excepto el cero. En el caso de una función de valor absoluto compleja, no hay diferenciación posible para alguno de sus valores. Sin embargo, es continua para el dominio completo.

Operaciones Con Funciones, Función Adición, Función Multiplicación, Función Composición

Función de Adición, Función de Multiplicación, Función de Composición

Al igual que en cualquier otra cantidad matemática, es posible realizar operaciones básicas

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