Conjuntos Numericos

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1) N = Conjunto de los Números Naturales

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

Tiene un número ilimitado de elementos

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

2) N* = N0 = Conjunto de los Números Cardinales

N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}

Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

3) Z = Conjunto de los Números Enteros

Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos

Z = Tiene 3 Subconjuntos:

Enteros Negativos: Z ¯

Enteros Positivos: Z +

Enteros Positivos y el Cero: Z 0+

Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

Z = Z ¯ U {0} U Z +

4) Q = Conjunto de los Números Racionales

Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. (Ver: Fracciones)

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z).

Se expresa por comprensión como:

Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

5) I = Q* = Conjunto de Números Irracionales

I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos: 1,4142135....

0,10200300004000005....

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.[cita requerida] Sus características estructurales más importantes son:

• 1. Dotados de operadores, admiten estructura

algebraica estable

• 2. Están dotados de propiedades topológicas (o pueden

llegar a estarlo)

• 3. Admiten relación de orden

• 4. Admiten relación de equivalencia

• 5. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y [[Diagrama de

Venn|diagramas de Venn]], pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).

• 6. Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.

• 7. El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a

mayor complejidad) es el siguiente:

• Números naturales

• El 1

• Números primos

• Números compuestos

• Números enteros

• El cero

• Números enteros negativos

• Números racionales

• Números irracionales

• Números reales

• Número imaginario

• Extensiones de los números reales

• Números

...