Los Conjuntos Numericos

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

Es cualquiera de los números que se usan para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.Por ejemplo, para contar los habitantes de un país.

El conjunto de los números naturales se representa con el símbolo N, y se escribe N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,..}. Este es un conjunto infinito porque, dado un numero natural, siempre es posible encontrar su consecutivo.

ORDEN EN N

Los números naturales sirven para contar y ordenar los elementos de un conjunto. por ejemplo en una carrera de formula 1, no solamente es necesario conocer cuantos carros terminan la carrera; también es importante saber el orden en que llegan a la meta.

El orden resulta al comparar dos números naturales y determinar cual es el menor y cual es el mayor. cuando se comparan dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:

• a es mayor que b. esta relación se escribe a>b

• a es menor que b. esta relación se escribe a<b

• a es igual a b. esta relación se escribe a=b

Un número natural es mayor que otro, si está colocado a la derecha de él en la recta numérica.

• Ejemplo:El número 4 está a la derecha del número 3, lo que quiere decir, que 4 es mayor que 3.

El símbolo que nos indica mayor que es: (>)

Por lo tanto, podemos decir que 4 > 3

OPERACIONES EN N

SUMA DE NUMEROS NATURALES

En toda suma de números hay varios elementos: los números que se van a sumar llamados sumandos y el resultado de la operación llamado suma.

Ejemplo : 20 + 56 + 9 = 85

En cualquier suma se verifica que: sumando desconocido = suma – sumando conocido

Ejemplos

57 + ? = 73

? = 73 – 57

? = 16

12 + 25 + ? = 84

37 + ? = 84

? = 84 – 37 ? = 47

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1.Interna: a + b=C

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

3.Conmutativa: a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4. Elemento neutro: a + 0 = a

3 + 0 = 3

RESTA DE NÚMEROS NATURALES

En toda resta de números hay tres elementos: el número del que vamos a restar llamado minuendo, el número que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operación llamado resta o diferencia.

Ejemplo : 9 – 6 = 3

En cualquier resta se verifica que: minuendo = sustraendo + diferenciasustraendo = minuendo + diferencia

Ejemplos : ? – 8 = 47 ? = 47 + 8 ? = 55

37 - ? = 29 ? = 37 – 29 ? = 8

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

1. No es una operación interna

2 − 5 =-3 NO PERTENECE A LOS NATURALES

2. No es Conmutativa

5 − 2 ≠ 2 − 5

PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES

En toda multiplicación de números hay tres elementos: los números que multiplicamos llamados factores y el resultado de la multiplicación llamado producto.

Ejemplo : 9 • 3 = 27

En cualquier multiplicación se verifica que: factor desconocido = producto : factor conocido

Ejemplos : 7 • ? = 84 ? = 84 : 7 ? = 12

3 • 4 • ? = 72 12 • ? = 72 ? = 72 : 12 ? = 6

Hay algunas frases que tienen un significado especial:

Doble multiplicar por 2

Triple multiplicar por 3

Cuádruple multiplicar por 4

a • b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Interna: a • b =C

2. Asociativa: (a • b) • c = a • (b • c)

(2 • 3) • 5 = 2• (3 • 5)

6 • 5 = 2 • 15

30 = 30

3. Conmutativa: a • b = b • a

2 • 5 = 5 • 2

10 = 10

4. Elemento neutro: a • 1 = a

3 • 1 = 3

5. Distributiva: a • (b + c) = a • b + a • c

2 • (3 + 5) = 2 • 3 + 2 • 5

2 • 8 = 6 + 10

16 = 16

6. Sacar factor común: a • b + a • c = a • (b + c)

2 • 3 + 2 • 5 = 2 • (3 + 5)

6 + 10 = 2 • 8

16 = 16

DIVISION DE NUMEROS NATURALES

En toda división de números hay cuatro elementos: el número que vamos a dividir llamado dividendo, el número entre el que dividimos llamado divisor, el resultado de la división llamado cociente y lo que sobra después de dividir llamado resto.

Ejemplo : dividendo 25 divisor7

resto 4 3 cociente 

: En la división del ejemplo anterior se cumple que 7 • 3 + 4 = 25 y 4 < 7

Hay algunas frases que tienen un significado especial:

mitad dividir entre 2

tercera parte dividir entre 3

cuarta parte dividir entre 4

quinta parte dividir entre 5

Ejemplos:

La mitad de 8 8 : 2 = 4; La cuarta parte de 28 28 : 4 = 7

D : d = c

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Propiedades de la división

1.División exacta

15/3 = 5 • 3

2. División entera

17/5 = 5 • 3 + 2

3.No es Conmutativo.

6 : 2 ≠ 2 : 6

4. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

5. No se puede dividir por 0.

OPERACIONES COMBINADAS CON NUMEROS NATURALES

Cuando en una misma expresión hay sumas, restas, productos y divisiones el orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente:

1º Operaciones dentro de los paréntesis

2º Productos y divisiones

3º Sumas y restas

4º Si las operaciones tienen la misma jerarquía se empiezan por la izquierda.

Ejemplos :

5 + 2 • 3 = 5 + 6 = 11 ( 5 + 2 ) • 3 = 7 • 3 = 21 ( 12 – 2 ) : ( 7 – 5) = 10 : 2 = 5

POTENCIA

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

5 • 5 • 5 • 5 = 54

Base

La base d una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.

Exponente

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

Propiedades de la potencias de números naturales

1. a0 = 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

am • a n = am+n

25 • 22 = 25+2 = 27

4. División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23

5. Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(am)n = am • n

(25)3 = 215

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

an • b n = (a • b) n

23 • 43 = 83

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

an : bn = (a : b)n

63 : 33 = 23

Descomposición polinómica de un número

Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10.

El numero 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo:

3 658 = 3 •103 + 6 •102 + 5 •101 + 8

Ecuación

Es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Hagamos el siguiente problema

La suma de tres números enteros consecutivos es 48. ¿Hallar los tres números?

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