¿Cuántas veces se espera que sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

CASO 1.

Suponga que un conductor de automóvil que maneja con exceso de velocidad, puede ser detectado por un sistema de radar. Se dice que de cada diez con exceso de velocidad, seis son detectados Un automovilista va con exceso de velocidad, en viaje entre Bogotá y Tunja. Durante el trayecto hay ocho estaciones de vigilancia por radar.

¿Qué probabilidad hay de que este automovilista, por lo menos cinco veces, sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

¿Cuántas veces se espera que sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

¿Cuál es la probabilidad de que no sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

p=6/10=0.6

n=8

Distribución binomial

P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

P(X=x) = C(8,x) * 0,6^x * 0,4^(8-x)

a) P(X>=5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

P(X=5) = C(8,5) * 0,6^5 * 0,4^(8-5) = 0.2787

P(X=6) = C(8,6) * 0,6^6 * 0,4^(8-6) = 0.2090

P(X=7) = C(8,7) * 0,6^7 * 0,4^(8-7) = 0.0896

P(X=8) = C(8,8) * 0,6^8 * 0,4^(8-8) = 0.0168

P(X>=5) = 0.2787 + 0.2090 + 0.0896 + 0.0168

P(X>=5) = 0,5941

b) ¿Cuántas veces se espera que sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

p=6/10=0.6

n=8

E(X) = ∑ xP(x)

E(X) = 8 * 0.6 = 4.8

c. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

P(X=8) = C(8,8) * 0,4^8 * 0,6^(8-8)

P(X=8) = 1 * 0.00065536 * 1

P(X=8) = 0.00066

P(X=8) = 0.066

CASO 2

Un ejecutivo bancario recibe 10 solicitudes de crédito. Los perfiles de los solicitantes son similares, salvo que 4 pertenecen a grupos minoritarios y 6 no. Al final el ejecutivo autoriza 6 de las solicitudes. Si estas autorizaciones se eligen aleatoriamente del grupo de 10 solicitudes.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios?

Solicitudes = 10

Grupos minoritarios = 4

Grupos no minoritarios = 6

Se aplica:C(n, x) = n! / (x! (n-x)!)

Se pide que menos de la mitad de las autorizaciones sean de personas que pertenezcan a grupos minoritarios; entonces la mitad de 6 es 3 y menos de 3 es 0,1, 2,3.

La probabilidad de tomar 6 solicitudes de 10: C (10 , 6)

La probabilidad de tomar 0 solicitudes minoritarias y 6 no minoritarias: C(4, 0) - C (6,6)respectivamente.

La probabilidad de tomar 1 solicitud minoritaria y 6 no minoritarias: C(4 ,1) - C (6,5) respectivamente.

La probabilidad de tomar 2 solicitudes minoritarias y 6 no minoritarias: C (4, 2) - C (6,4)respectivamente.

Se halla la probabilidad:

(C(4,0)*C(6,6)+C(4,1)*C(6,5)+C(4,2)*C(6,4)

C(10,6)¬¬

Para cada posibilidad se aplica

C(n, x) = n! / (x! (n-x)!)

C(4,0)*C(6,6)= 1

C(4,1)*C(6,5)= (24/1(4-1)!)*(720/120(6-5)!)(24/1(3!))*(720/120(1)!) entonces (24/ 6)*(720/120) = 4*6 = 24

C(4,2)*C(6,4), es decir(24/2(4-2)!)*(720/24(6-4)!)(24/2(2))*(720/24( 2)) entonces (24/4)*(720/48) = 6*15 = 90

C(10,6) (3.628.800/720(10-6)!) entonces (3.628.800/720(24))

(3.628.800/720(24))= (3.628.800/17.280) = 210

La probabilidad de que menos de la mitad de autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios es:

1+24+90/210 = 115/210 = 0,5476

b. ¿Cuántas solicitudes se espera que sean autorizadas para grupos minoritariossi ya conocemos que menos de la mitad pertenecen a grupos minoritarios?

C(4,3)*C(6,3) = (24/6(1)!)*(720/6(6-3)!)(24/6)*(720/36) entonces (4)*(20) = 80

C(4,4)*C(6,2) es decir (24/24(0)!)*(720/2(6-2)!)(24/0)*(720/2(24) entonces (720/48) = 15

Se espera que las solicitudes autorizadas para grupos minoritarios sean:

(0*1/210)+(1*24/210) + (2*90/210) + (3*80/210) +(4*15/210)

0+24+180+240+60/210 = 504/210= 2,40

CASO3.

Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes/hora. Calcule la probabilidad que:

a. en la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes.

Si en una hora, el promedio de clientes que llegan a la exhibición es de 6,8, el promedio de clientes en media hora será 6,8/2 = 3,4 clientes = λ

Definamos a la variable aleatoria x : “Cantidad de clientes que llegan a la exhibición en media hora"

P (x=ó>2) = 1 - P (x=ó<1) = 1 - [P (x=0) + P (x=1)]

P (x) = λ^x * e^-λ / x!

P (x=0) = 3,4^0 * e^-3,4 / 0! = 1 * 0,03337327 / 1 = 0,033373

P (x=1) = 3,4^1 * e^-3,4 / 1! = 3,4

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