DATOS Y AZAR

TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL.

Tomando como referencia la fórmula de probabilidad condicional,

Despejando,

p(AE) = p(E)p(AE)

Teorema de la multiplicación para probabilidad condicional

donde:

p(AE) = probabilidad de que ocurran A y E

p(E) = probabilidad de que ocurra E

p(AE) = probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento E ya ocurrió

Ejemplos:

1. En un lote de producción hay 25 productos, 5 de los cuales tienen defectos menores y 9 tienen defectos mayores, si se toman de este lote tres productos uno tras otro, determine la probabilidad de que: a. El primer producto no tenga defectos y que el segundo y tercero tengan defectos mayores, b. El primer producto tenga defectos menores, el segundo tenga defectos mayores y que el tercero no tenga defectos, c. El primer producto y el tercero no tengan defectos.

Solución:

a. a. Definiremos algunos eventos;

B1 = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos

DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores

DM3 = evento de que el tercer producto seleccionado tenga defectos mayores

p(B1DM2DM3) = p(B1)p(DM2B1)p(DM3B1DM2)

=(11/25)*(9/24)*(8/23)

= 0.44*0.375*0.347826

= 0.05739

b. b. Dm1= evento de que el primer producto seleccionado tenga defectos menores

DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores

B3 = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos

P(Dm1DM2B3) = p(Dm1)p(DM2Dm1)p(B3Dm1DM2)

= (5/25)*(9/24)*(11/23)=

= 0.2*0.375*0.4782608= 0.03587

EVENTOS DEPENDIENTES

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

Reglas de Multiplicación

Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B son dependientes

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

Sea una partición sobre el espacio muestral y sea un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales , entonces la probabilidad del suceso viene dada por la expresión:

Demostración

Por hipótesis tenemos una partición del espacio muestral . Por lo tanto el suceso se puede escribir como

ahora bien, los conjuntos son dos a dos disjuntos, ya que en caso contrario los tampoco lo serían. En consecuencia

Por último, se sabe que para cualesquiera sucesos y . Luego

EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

TEOREMA DE BAYES

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales . Entonces, la probabilidad viene dada por la expresión:

donde:

• son las probabilidades a priori.

• es la probabilidad de en la hipótesis

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